kaoyan2advanced 高等数学 第102题
📝 题目
### 第102题
设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[f(x+2)+\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}{1-\cos x}=4$ ，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的 （A）不可导点． （B）驻点且是极大值点． （C）驻点且是极小值点． （D）可导的点但不是驻点．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$x\to0$时$\displaystyle 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln[f(x+2)+e^{x^2}]}{x^2/2}=4$，得$\lim_{x\to0}\ln[f(x+2)+e^{x^2}]=0$，即$f(2)+1=1$，$f(2)=0$。步骤2：由极限式得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x+2)+e^{x^2}-1}{x^2/2}=4$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x+2)+x^2}{x^2/2}=4$，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x+2)}{x^2}=1$，则$f'(2)=0$，且$f''(2)=2>0$，故$x=2$是极小值点。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用等价无穷小化简极限条件
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，代入极限式得：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln[f(x+2)+e^{x^2}]}{x^2/2} = 4$$
即
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln[f(x+2)+e^{x^2}]}{x^2} = 2$$
公式：$$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$$
提示：注意等价无穷小替换后分母变化
步骤 2/6
目标：确定 $f(2)$ 的值
由极限存在且分母趋于0，分子必须趋于0，故
$$\lim_{x \to 0} \ln[f(x+2)+e^{x^2}] = 0$$
即 $\ln[f(2)+1] = 0$，解得 $f(2) = 0$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \ln[f(x+2)+e^{x^2}] = 0$$
提示：注意极限存在且分母趋于0时分子必趋于0
步骤 3/6
目标：利用等价无穷小替换对数
当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$，这里 $u = f(x+2) + e^{x^2} - 1$，且 $x \to 0$ 时 $u \to 0$，故
$$\ln[f(x+2)+e^{x^2}] \sim f(x+2) + e^{x^2} - 1$$
代入极限式得：
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2) + e^{x^2} - 1}{x^2/2} = 4$$
即
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2) + e^{x^2} - 1}{x^2} = 2$$
公式：$$\ln(1+u) \sim u \quad (u \to 0)$$
提示：注意u趋于0的条件验证
步骤 4/6
目标：展开 $e^{x^2}$ 并化简
由于 $e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2)$，代入得：
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2) + (1 + x^2 + o(x^2)) - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+2) + x^2 + o(x^2)}{x^2} = 2$$
即
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{x^2} + 1 = 2$$
所以
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{x^2} = 1$$
公式：$$e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2)$$
提示：注意展开后合并同类项，避免符号错误
步骤 5/6
目标：利用导数定义判断可导性与极值
由 $f(2)=0$ 及极限式 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{x^2} = 1$ 可知，$f'(2) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+2) - f(2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{x}$，但该极限不存在（因为分母一次方，分子是二次方量级），实际上由 $\frac{f(x+2)}{x^2} \to 1$ 得 $f(x+2) \sim x^2$，故 $f'(2) = 0$。进一步，由 $f(x+2) \sim x^2$ 知 $f''(2) = 2 > 0$，因此 $x=2$ 是极小值点。
公式：$$f'(2) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+2) - f(2)}{x}$$
提示：注意分子量级与分母阶数匹配
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $f'(2)=0$ 且 $f''(2)>0$，故 $x=2$ 是驻点且是极小值点，对应选项 (C)。
提示：注意驻点与极值点的关系
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