kaoyan2advanced 高等数学 第103题
📝 题目
### 第103题
若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 上的曲率圆为 $x^{2}+y^{2}=2$ ，则 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内 （A）有极值点，无零点． （B）无极值点，有零点． （C）有极值点，有零点。 （D）无极值点，无零点．
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💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：曲率圆$x^2+y^2=2$在$(1,1)$处半径$R=\sqrt{2}$，曲率$\displaystyle k=\frac{1}{R}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。步骤2：曲率公式$\displaystyle k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$，由隐函数求导得$\displaystyle y'=-\frac{x}{y}$，在$(1,1)$处$y'=-1$，代入得$\displaystyle \frac{|y''|}{(2)^{3/2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$|y''|=2$。步骤3：$f''(x)$不变号，故$f''(x)=2$或$-2$，$f(x)$为凸或凹函数，在$(1,2)$内无极值点。步骤4：$f(1)=1$，$f'(1)=-1$，若$f''(x)=2$，则$f(x)$下凸，$f(2)>f(1)+f'(1)=0$，无零点；若$f''(x)=-2$，则$f(x)$上凸，$f(2)<0$，有零点。由曲率圆内切，$f''(1)=2$（曲率圆圆心在$(0,0)$，曲线凹向圆心），故$f''(x)=2$，$f(2)>0$，无极值点，无零点。 **难度**：★★★★★
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：确定曲率圆参数
曲率圆方程为 $x^2+y^2=2$，在点 $(1,1)$ 处，半径 $R = \sqrt{2}$，曲率 $k = \frac{1}{R} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
提示：注意曲率圆半径与曲率的关系
步骤 2/6
目标：步骤2：利用曲率公式求二阶导数
曲率公式 $k = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$。由隐函数求导，对 $x^2+y^2=2$ 求导得 $2x+2yy'=0$，即 $y' = -\frac{x}{y}$。在 $(1,1)$ 处，$y' = -1$。代入曲率公式：$\frac{|y''|}{(1+(-1)^2)^{3/2}} = \frac{|y''|}{2^{3/2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，解得 $|y''| = 2$。
公式：$$k = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$
提示：注意曲率圆半径与曲率互为倒数
步骤 3/6
目标：步骤3：分析二阶导数符号
已知 $f''(x)$ 不变号，故 $f''(x) = 2$ 或 $f''(x) = -2$。由于曲率圆圆心在 $(0,0)$，曲线在点 $(1,1)$ 处凹向圆心，即曲线为下凸（凹函数），所以 $f''(1) = 2$，从而 $f''(x) = 2$ 恒成立。
提示：注意凹向与圆心位置的关系
步骤 4/6
目标：步骤4：判断极值点
因为 $f''(x) = 2 > 0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内是严格凸函数，导数 $f'(x)$ 单调递增。由 $f'(1) = -1$，在 $(1,2)$ 内 $f'(x) < 0$（若 $f'(x)$ 始终为负，则无极值点），故无极值点。
提示：注意凸函数导数单调性，但需验证符号变化
步骤 5/6
目标：步骤5：判断零点
由 $f(1)=1$，$f'(1)=-1$，且 $f''(x)=2$，可近似得 $f(2) \approx f(1) + f'(1) \cdot 1 + \frac{1}{2} f''(1) \cdot 1^2 = 1 - 1 + 1 = 1 > 0$。由于 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内连续且 $f(1)=1>0$，$f(2)>0$，且函数为凸，故无零点。
公式：$$f(2) \approx f(1) + f'(1) \cdot 1 + \frac{1}{2} f''(1) \cdot 1^2$$
提示：注意凸函数性质与零点判断的关系
步骤 6/6
目标：步骤6：得出结论
函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内无极值点，无零点，对应选项（D）。
提示：注意曲率圆与函数关系，判断单调性和凹凸性
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