kaoyan2advanced 高等数学 第104题
📝 题目
### 第104题
设函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足 $x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=1-\mathrm{e}^{-x}$ ，若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\left(x_{0}\right. \neq 0$ ），则 （A）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点． （B）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极大值点． （C）$\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （D）$x_{0}$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：代入$x=x_0$，$f'(x_0)=0$，得$x_0f''(x_0)=1-e^{-x_0}$。步骤2：$x_0\neq0$，故$\displaystyle f''(x_0)=\frac{1-e^{-x_0}}{x_0}$。步骤3：当$x_0>0$时，$1-e^{-x_0}>0$，$f''(x_0)>0$；当$x_0<0$时，$1-e^{-x_0}<0$，$f''(x_0)>0$。故$f''(x_0)>0$，$x_0$为极小值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：代入条件
将 $x = x_0$ 代入已知方程 $x f''(x) + 3x [f'(x)]^2 = 1 - e^{-x}$，并利用 $f'(x_0) = 0$，得到 $x_0 f''(x_0) = 1 - e^{-x_0}$。
公式：$$x_0 f''(x_0) = 1 - e^{-x_0}$$
提示：注意代入后f'(x0)=0消去含f'项
步骤 2/5
目标：解出二阶导数
由于 $x_0 \neq 0$，两边除以 $x_0$ 得 $f''(x_0) = \frac{1 - e^{-x_0}}{x_0}$。
公式：$$f''(x_0) = \frac{1 - e^{-x_0}}{x_0}$$
提示：注意除以x0时x0≠0的条件
步骤 3/5
目标：分析符号
当 $x_0 > 0$ 时，$e^{-x_0} < 1$，故 $1 - e^{-x_0} > 0$，从而 $f''(x_0) > 0$；当 $x_0 < 0$ 时，$e^{-x_0} > 1$，故 $1 - e^{-x_0} < 0$，但分母 $x_0 < 0$，因此 $f''(x_0) > 0$。
提示：注意分母符号对不等式方向的影响
步骤 4/5
目标：判断极值
由 $f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0) > 0$，根据极值判定定理，$x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。
公式：$$f'(x_0)=0, f''(x_0)>0 \Rightarrow x_0 \text{为极小值点}$$
提示：注意二阶导大于0是极小值
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，正确选项为 (A)。
提示：注意极值点判定与二阶导符号的关系
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。