kaoyan2advanced 高等数学 第105题
📝 题目
### 第105题
设函数 $f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-a$ 恰有两个不同的零点，则 $a$ 可能为 （A） 8 ． （B） 6 ． （C） 4 ． （D） 2 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$，驻点$x=1,2$。步骤2：$f(1)=2-9+12-a=5-a$，$f(2)=16-36+24-a=4-a$。步骤3：恰有两个不同零点，则一个极值为0，另一极值非0。若$f(1)=0$，则$a=5$，$f(2)=-1$，有3个零点（因三次函数）；若$f(2)=0$，则$a=4$，$f(1)=1$，有2个零点。故$a=4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求导并找出驻点
对函数 $f(x)=2x^3-9x^2+12x-a$ 求导得 $f'(x)=6x^2-18x+12$。因式分解：$f'(x)=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$。令 $f'(x)=0$，解得驻点 $x=1$ 和 $x=2$。
公式：$$f'(x)=6(x-1)(x-2)$$
提示：注意因式分解正确，避免符号错误
步骤 2/5
目标：计算极值
计算函数在驻点处的值：$f(1)=2\cdot1^3-9\cdot1^2+12\cdot1-a=2-9+12-a=5-a$；$f(2)=2\cdot8-9\cdot4+12\cdot2-a=16-36+24-a=4-a$。
提示：注意极值点处函数值的计算
步骤 3/5
目标：分析零点个数条件
三次函数 $f(x)$ 恰有两个不同零点，意味着其中一个极值为零，另一个极值非零，且函数图像与 $x$ 轴恰好有两个交点。
提示：注意极值点与零点关系
步骤 4/5
目标：分类讨论极值为零的情况
情况1：若 $f(1)=0$，则 $5-a=0$，解得 $a=5$。此时 $f(2)=4-5=-1\neq0$。由于三次函数首项系数为正，$x\to-\infty$ 时 $f(x)\to-\infty$，$x\to+\infty$ 时 $f(x)\to+\infty$，且 $f(1)=0$，$f(2)=-1$，则函数在 $(-\infty,1)$ 有一个零点，在 $(1,2)$ 和 $(2,+\infty)$ 各有一个零点，共三个零点，不满足条件。
提示：注意极值点为零时需验证零点个数
步骤 5/5
目标：讨论另一种情况并得出结论
情况2：若 $f(2)=0$，则 $4-a=0$，解得 $a=4$。此时 $f(1)=5-4=1\neq0$。函数在 $(-\infty,1)$ 单调递增，在 $(1,2)$ 单调递减，在 $(2,+\infty)$ 单调递增。由于 $f(1)=1>0$，$f(2)=0$，且 $x\to-\infty$ 时 $f(x)\to-\infty$，故在 $(-\infty,1)$ 有一个零点，在 $x=2$ 处有一个零点（重根视为一个），共两个不同零点，满足条件。因此 $a=4$，对应选项C。
提示：注意重根算一个零点
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