kaoyan2advanced 高等数学 第106题
📝 题目
### 第106题
$f(x)=-$\cos \pi x+(2 x-3)^{3}+\frac{1}{2}(x-1)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的零点个数$ （A）正好有 1 个． （B）正好有 2 个． （C）正好有 3 个． （D）至少有 4 个．
建设谷题时问
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=-\cos\pi x+(2x-3)^3+\frac{1}{2}(x-1)$，$f(1)=-\cos\pi+(-1)^3+0=1-1=0$。步骤2：$\displaystyle f(0)=-1+(-27)-\frac{1}{2}=-28.5<0$，$\displaystyle f(2)=-\cos2\pi+1^3+\frac{1}{2}=-1+1+0.5=0.5>0$，$(0,1)$内有一零点。步骤3：$\displaystyle f(1.5)=-\cos1.5\pi+0^3+\frac{1}{2}\times0.5=0+0+0.25>0$，$f(1)=0$，$f(1.5)>0$，$(1,1.5)$内无零点。步骤4：$x\to-\infty$时$f(x)\to-\infty$，$f(0)<0$，故$(-\infty,0)$内有一零点；$x\to+\infty$时$f(x)\to+\infty$，$f(2)>0$，故$(2,+\infty)$内有一零点。共3个零点。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：计算特殊点函数值
令 $f(x) = -\cos \pi x + (2x-3)^3 + \frac{1}{2}(x-1)$，计算 $f(1) = -\cos \pi + (2-3)^3 + \frac{1}{2}(0) = -(-1) + (-1) + 0 = 1-1=0$，故 $x=1$ 是一个零点。
提示：注意cosπ的值为-1，避免符号错误
步骤 2/6
目标：步骤2：判断区间 (0,1) 内的零点
计算 $f(0) = -\cos 0 + (-3)^3 + \frac{1}{2}(-1) = -1 -27 -0.5 = -28.5 < 0$，$f(2) = -\cos 2\pi + (1)^3 + \frac{1}{2}(1) = -1 + 1 + 0.5 = 0.5 > 0$。由零点定理，在 $(0,1)$ 内至少有一个零点。
提示：注意f(2)中x=2代入(2x-3)得1，不是(1)^3？
步骤 3/6
目标：步骤3：分析区间 (1,1.5) 内的零点情况
计算 $f(1.5) = -\cos (1.5\pi) + (0)^3 + \frac{1}{2}(0.5) = 0 + 0 + 0.25 = 0.25 > 0$，而 $f(1)=0$，$f(1.5)>0$，故在 $(1,1.5)$ 内无零点。
提示：注意f(1)=0是端点，区间内需严格大于或小于
步骤 4/6
目标：步骤4：分析无穷远处的零点
当 $x \to -\infty$ 时，$(2x-3)^3 \to -\infty$，$\cos \pi x$ 有界，$\frac{1}{2}(x-1) \to -\infty$，故 $f(x) \to -\infty$。又 $f(0)<0$，由零点定理，在 $(-\infty,0)$ 内至少有一个零点。当 $x \to +\infty$ 时，$(2x-3)^3 \to +\infty$，故 $f(x) \to +\infty$，又 $f(2)>0$，在 $(2,+\infty)$ 内至少有一个零点。
提示：注意无穷远处主导项为三次项，符号决定趋势
步骤 5/6
目标：步骤5：综合零点个数
已得零点：$x=1$，$(0,1)$ 内一个，$(-\infty,0)$ 内一个，$(2,+\infty)$ 内一个，共3个零点。
提示：注意区间划分和单调性判断
步骤 6/6
目标：步骤6：选择答案
因此零点个数正好为3，对应选项C。
提示：注意零点个数与函数单调性结合判断
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