kaoyan2advanced 高等数学 第107题
📝 题目
### 第107题
设函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处二阶导数存在，且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)<0, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则必存在 $\delta>$ 0 ，使得 （A）曲线 $y=f(x)$ 在区间 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 上是凸的． （B）曲线 $y=f(x)$ 在区间 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 上是凹的． （C）函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 严格单调增，在区间 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 严格单调减． （D）函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 严格单调减，在区间 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 严格单调增．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$f''(x_0)<0$，由保号性，存在$\delta>0$，当$x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$时$f''(x)<0$，曲线为凸。步骤2：$f'(x_0)=0$，但$f''(x_0)<0$不能保证单调性，故C、D不一定。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：步骤1：利用二阶导数保号性判断凸性
已知 $f''(x_0) < 0$，由二阶导数的局部保号性，存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 时，$f''(x) < 0$ 恒成立。根据曲线凹凸性的判定定理，若在区间内 $f''(x) < 0$，则曲线 $y = f(x)$ 在该区间上是凸的。因此选项 (A) 正确，选项 (B) 错误。
公式：$$f''(x) < 0 \Rightarrow \text{凸}$$
提示：注意二阶导数保号性需邻域内恒成立
步骤 2/3
目标：步骤2：分析一阶导数为零与单调性的关系
已知 $f'(x_0) = 0$，但仅凭 $f''(x_0) < 0$ 不能确定 $x_0$ 邻域内 $f'(x)$ 的符号变化。例如，函数 $f(x) = -x^4$ 在 $x_0 = 0$ 处满足 $f'(0) = 0$，$f''(0) = 0$（但此处 $f''(x_0) < 0$ 不成立），而 $f(x) = -x^2$ 在 $x_0 = 0$ 处满足 $f'(0) = 0$，$f''(0) = -2 < 0$，此时在 $x_0$ 左侧 $f'(x) > 0$，右侧 $f'(x) < 0$，但并非所有满足条件的函数都如此。因此不能保证单调性，选项 (C) 和 (D) 不一定成立。
提示：f''(x0)<0不能直接推出邻域单调性
步骤 3/3
目标：步骤3：综合判断选项
由步骤1可知，存在 $\delta > 0$ 使得在 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 上 $f''(x) < 0$，曲线为凸，故 (A) 正确。步骤2说明 (C) 和 (D) 不一定成立，因此正确答案为 (A)。
提示：注意凸函数二阶导小于0
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