kaoyan2advanced 高等数学 第108题
📝 题目
### 第108题
函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+2 x-3}{\left(x^{3}-x\right)\left(x^{2}+1\right)}$ 的铅直渐近线个数为 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ．
建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x^3-x)(x^2+1)}=\frac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\frac{x+3}{x(x+1)(x^2+1)}$（$x\neq1$）。步骤2：分母零点$x=0,-1$，且$x=1$为可去间断点。步骤3：$\lim_{x\to0}f(x)=\infty$，$\lim_{x\to-1}f(x)=\infty$，故有两条铅直渐近线$x=0$和$x=-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简函数表达式
首先对分子和分母进行因式分解：分子 $x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$，分母 $(x^3-x)(x^2+1) = x(x-1)(x+1)(x^2+1)$。因此，$$f(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)(x+1)(x^2+1)}$$ 当 $x \neq 1$ 时，可约去公因子 $(x-1)$，得到 $$f(x)=\frac{x+3}{x(x+1)(x^2+1)}$$ 注意 $x=1$ 为可去间断点。
公式：$$f(x)=\frac{x+3}{x(x+1)(x^2+1)}$$
提示：注意约分时x≠1，可去间断点
步骤 2/5
目标：确定分母零点
化简后的分母为 $x(x+1)(x^2+1)$，其零点为 $x=0$ 和 $x=-1$（因为 $x^2+1>0$ 恒成立）。这些点是可能的铅直渐近线位置。
提示：注意分母因式分解要彻底
步骤 3/5
目标：验证铅直渐近线
计算极限：当 $x \to 0$ 时，$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x+3}{x(x+1)(x^2+1)} = \infty$；当 $x \to -1$ 时，$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x+3}{x(x+1)(x^2+1)} = \infty$。因此 $x=0$ 和 $x=-1$ 均为铅直渐近线。
提示：注意分母为零且分子非零的点
步骤 4/5
目标：排除其他点
$x=1$ 为可去间断点，因为 $\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1+3}{1 \cdot (1+1) \cdot (1+1)} = 1$，极限存在，故不是铅直渐近线。
提示：可去间断点极限存在，不是铅直渐近线
步骤 5/5
目标：得出结论
函数有两条铅直渐近线：$x=0$ 和 $x=-1$，因此铅直渐近线个数为 2，对应选项 (C)。
公式：$$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$$
提示：注意分母为零且分子非零的点
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