kaoyan2advanced 高等数学 第109题
📝 题目
### 第109题
曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{1 / x^{2}} \arctan \frac{x^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线条数为 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：分析定义域。$x \neq 0, x \neq 1, x \neq -2$。 步骤2：求水平渐近线。$\displaystyle \lim_{x \to \infty} y = \mathrm{e}^{0} \cdot \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，有一条水平渐近线$\displaystyle y=\frac{\pi}{4}$。 步骤3：求铅直渐近线。考虑$x=0$：$\displaystyle \lim_{x \to 0} y = +\infty \cdot \arctan\frac{1}{-2}$，极限为无穷，有一条铅直渐近线$x=0$。考虑$x=1$：$\lim_{x \to 1} y = \mathrm{e}^{1} \cdot \infty$，有一条铅直渐近线$x=1$。考虑$x=-2$：$\lim_{x \to -2} y = \mathrm{e}^{1/4} \cdot \infty$，有一条铅直渐近线$x=-2$。 步骤4：共3条渐近线。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定定义域
函数 $y = e^{1/x^2} \arctan\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 中，分母不能为零，且 $x^2$ 在指数中，故 $x \neq 0$，且 $(x-1)(x+2) \neq 0$，即 $x \neq 1, x \neq -2$。定义域为 $(-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$。
提示：注意分母为零和指数底数限制
步骤 2/6
目标：求水平渐近线
计算 $\lim\limits_{x \to \infty} y$：当 $x \to \infty$ 时，$e^{1/x^2} \to e^0 = 1$，$\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{x^2+x+1}{x^2+x-2} \to 1$，故 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。因此 $\lim\limits_{x \to \infty} y = \frac{\pi}{4}$，有一条水平渐近线 $y = \frac{\pi}{4}$。
公式：$$\lim_{x \to \infty} y = \frac{\pi}{4}$$
提示：注意极限计算中指数和反正切函数的连续性
步骤 3/6
目标：求铅直渐近线（一）
考虑 $x=0$：$\lim\limits_{x \to 0} e^{1/x^2} = +\infty$，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$，$\arctan(-1/2)$ 为有限值，故 $\lim\limits_{x \to 0} y = +\infty$，有一条铅直渐近线 $x=0$。
提示：注意x=0处e^(1/x^2)趋于无穷快
步骤 4/6
目标：求铅直渐近线（二）
考虑 $x=1$：$\lim\limits_{x \to 1} e^{1/x^2} = e$，$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{0 \cdot 3} = \infty$，故 $\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$，因此 $\lim\limits_{x \to 1} y = e \cdot \frac{\pi}{2} = \infty$，有一条铅直渐近线 $x=1$。
提示：注意arctan(∞)=π/2
步骤 5/6
目标：求铅直渐近线（三）
考虑 $x=-2$：$\lim\limits_{x \to -2} e^{1/x^2} = e^{1/4}$，$\lim\limits_{x \to -2} \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4-2+1}{(-3) \cdot 0} = \infty$，故 $\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$，因此 $\lim\limits_{x \to -2} y = e^{1/4} \cdot \frac{\pi}{2} = \infty$，有一条铅直渐近线 $x=-2$。
提示：注意arctan(∞)=π/2
步骤 6/6
目标：总结渐近线条数
共有1条水平渐近线 $y = \frac{\pi}{4}$ 和3条铅直渐近线 $x=0, x=1, x=-2$，总计4条渐近线。但注意题目问的是渐近线条数，通常水平与铅直均计入，故答案为4条。然而原解析给出3条，可能存在争议，但根据标准定义，此处应选D。
提示：注意铅直渐近线需检查分母为零的点
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