kaoyan2advanced 高等数学 第110题
📝 题目
### 第110题
曲线 $\displaystyle y=\frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}}$ 的渐近线的条数为 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：求铅直渐近线。分母$1-\mathrm{e}^{-x}=0$得$x=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} y = \frac{1}{0^-} = -\infty$，$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} y = \frac{1}{0^+} = +\infty$，有一条铅直渐近线$x=0$。 步骤2：求水平渐近线。$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} y = \frac{1+x}{1-0} = +\infty$，无水平渐近线；$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} y = \frac{1+x}{1-\infty} = 0$，有一条水平渐近线$y=0$。 步骤3：求斜渐近线。$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{x(1-\mathrm{e}^{-x})} = 1$，$\displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} (y - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} - x = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x - x(1-\mathrm{e}^{-x})}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}} = 1$，有一条斜渐近线$y=x+1$。 步骤4：共3条渐近线。 **难度**：★★★☆☆