kaoyan2advanced 高等数学 第111题
📝 题目
### 第111题
若 $f(x)$ 的一个原函数为 $\arctan x$ ，则 $\int x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=$ （A） $\arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ． （B）$x \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ． （C）$\displaystyle -\frac{1}{2} \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{2} x \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．
建议荅题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由题意，$\displaystyle f(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$。 步骤2：令$u = 1-x^2$，则$\mathrm{d}u = -2x\mathrm{d}x$，原积分化为$\displaystyle \int x f(1-x^2) \mathrm{d}x = \int x \cdot \frac{1}{1+(1-x^2)^2} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} \mathrm{d}u = -\frac{1}{2} \arctan u + C = -\frac{1}{2} \arctan(1-x^2) + C$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由原函数求f(x)
因为 $f(x)$ 的一个原函数为 $\arctan x$，所以 $f(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$。
公式：$$f(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$$
提示：注意原函数与导数的关系
步骤 2/5
目标：代入被积函数
则 $\int x f(1-x^2) \, dx = \int x \cdot \frac{1}{1+(1-x^2)^2} \, dx$。
公式：$$\int x f(1-x^2) \, dx = \int x \cdot \frac{1}{1+(1-x^2)^2} \, dx$$
提示：注意原函数与导数的关系，代入时小心复合函数
步骤 3/5
目标：换元积分
令 $u = 1-x^2$，则 $du = -2x \, dx$，即 $x \, dx = -\frac{1}{2} du$。代入得：$\int x \cdot \frac{1}{1+u^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} \, du$。
公式：$$\int x f(1-x^2) dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} du$$
提示：注意换元后dx与du的转换系数
步骤 4/5
目标：积分并回代
$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} \, du = -\frac{1}{2} \arctan u + C = -\frac{1}{2} \arctan(1-x^2) + C$。
公式：$$\int \frac{1}{1+u^2} \, du = \arctan u + C$$
提示：注意回代时变量替换的准确性
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，$\int x f(1-x^2) \, dx = -\frac{1}{2} \arctan(1-x^2) + C$，对应选项 (C)。
公式：$$\int x f(1-x^2) \, dx = -\frac{1}{2} \arctan(1-x^2) + C$$
提示：注意换元时符号变化
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