kaoyan2advanced 高等数学 第112题
📝 题目
### 第112题
若 $f^{\prime}\left(\sin ^{2} x\right)=\cos ^{2} x$ ，则 $f(x)=$ （A） $\displaystyle \sin x-\frac{1}{2} \sin ^{2} x+C$ ． （B）$\displaystyle x-\frac{1}{2} x^{2}+C$ ． （C） $\cos x-\sin x+C$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2}-x+C$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：令$u = \sin^2 x$，则$\cos^2 x = 1-u$，故$f'(u) = 1-u$。 步骤2：积分得$\displaystyle f(u) = \int (1-u) \mathrm{d}u = u - \frac{1}{2}u^2 + C$，即$\displaystyle f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + C$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量代换
令 $u = \sin^2 x$，则 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - u$。因此，$f'(\sin^2 x) = \cos^2 x$ 化为 $f'(u) = 1 - u$。
公式：$$f'(u) = 1 - u$$
提示：注意变量代换后积分常数
步骤 2/4
目标：积分求原函数
对 $f'(u) = 1 - u$ 积分，得 $f(u) = \int (1 - u) \, \mathrm{d}u = u - \frac{1}{2}u^2 + C$，其中 $C$ 为任意常数。
公式：$$\int (1-u) \, \mathrm{d}u = u - \frac{1}{2}u^2 + C$$
提示：积分后勿忘常数C
步骤 3/4
目标：回代变量
将 $u = \sin^2 x$ 回代，得 $f(\sin^2 x) = \sin^2 x - \frac{1}{2}\sin^4 x + C$。但题目要求 $f(x)$ 的表达式，因此将 $u$ 替换为 $x$，即 $f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + C$。
公式：$$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + C$$
提示：回代时注意变量替换的一致性
步骤 4/4
目标：选择正确选项
对比选项，$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + C$ 对应选项 (B)。
公式：$$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + C$$
提示：注意变量代换后积分
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