kaoyan2advanced 高等数学 第5题
📝 题目
### 第5题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^{2}\right)+\ln \left(1-x+x^{2}\right)}{\sec x-\cos x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：分子$\ln(1+x+x^2)+\ln(1-x+x^2)=\ln[(1+x^2)^2-x^2]=\ln(1+x^2+x^4)$，当$x\to0$时，$\ln(1+x^2+x^4)\sim x^2$。 步骤2：分母$\displaystyle \sec x-\cos x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x} \sim x^2$。 步骤3：原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简分子
分子为 $\ln(1+x+x^2) + \ln(1-x+x^2)$，利用对数性质合并：$\ln[(1+x+x^2)(1-x+x^2)] = \ln[(1+x^2)^2 - x^2] = \ln(1+x^2+x^4)$。当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x^2+x^4) \sim x^2$。
公式：$$\ln(ab) = \ln a + \ln b$$
提示：注意合并后化简，勿忘等价无穷小替换条件
步骤 2/4
目标：化简分母
分母为 $\sec x - \cos x = \frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$。当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$\cos x \to 1$，故 $\frac{\sin^2 x}{\cos x} \sim x^2$。
公式：$$\sec x - \cos x = \frac{\sin^2 x}{\cos x} \sim x^2$$
提示：注意等价无穷小替换条件
步骤 3/4
目标：求极限
原极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x+x^2)+\ln(1-x+x^2)}{\sec x-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x+x^2)+\ln(1-x+x^2)}{\sec x-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$$
提示：注意等价无穷小替换时需确保精度一致
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，极限值为 $1$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x+x^2)+\ln(1-x+x^2)}{\sec x-\cos x}=1$$
提示：注意等价无穷小替换和三角恒等变形
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