kaoyan2advanced 高等数学 第6题

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📝 题目

### 第6题

设 $f(x)$ 非负连续，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\ln (1+x)} t f(t) \mathrm{d} t}{\left[\int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} \mathrm{d} t\right]^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{3}$ **解析**： 步骤1：利用洛必达法则，分子导数$\displaystyle \ln(1+x)\cdot x f(x)\cdot \frac{1}{1+x}$，分母导数$2\int_0^x\sqrt{f(t)}dt \cdot \sqrt{f(x)}$。 步骤2：当$x\to0^+$时，$\ln(1+x)\sim x$，$\displaystyle \frac{1}{1+x}\to1$，分子$\sim x^2 f(x)$；分母中$\int_0^x\sqrt{f(t)}dt \sim \sqrt{f(0)}x=0$，需进一步处理。 步骤3：由$f(0)=0$，$\displaystyle f'(0)=\frac{1}{2}$，得$\displaystyle f(x)\sim \frac{x}{2}$，$\displaystyle \sqrt{f(x)}\sim \sqrt{\frac{x}{2}}$，$\displaystyle \int_0^x\sqrt{f(t)}dt \sim \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{2}}x^{3/2}$，分母$\displaystyle \sim 2\cdot\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{2}}x^{3/2}\cdot\sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{2}{3}x^2$。 步骤4：原式$\displaystyle =\lim_{x\to0^+}\frac{x^2\cdot\frac{x}{2}}{\frac{2}{3}x^2} = \frac{1}{3}$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：步骤1：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x \to 0^+$时均趋于0，使用洛必达法则。分子导数为：$\frac{d}{dx} \int_0^{\ln(1+x)} t f(t) dt = \ln(1+x) \cdot f(\ln(1+x)) \cdot \frac{1}{1+x}$。分母导数为：$\frac{d}{dx} \left[ \int_0^x \sqrt{f(t)} dt \right]^2 = 2 \int_0^x \sqrt{f(t)} dt \cdot \sqrt{f(x)}$。因此，原极限化为：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x) \cdot f(\ln(1+x)) \cdot \frac{1}{1+x}}{2 \int_0^x \sqrt{f(t)} dt \cdot \sqrt{f(x)}}$。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x) \cdot f(\ln(1+x)) \cdot \frac{1}{1+x}}{2 \int_0^x \sqrt{f(t)} dt \cdot \sqrt{f(x)}}$$
提示：注意复合函数求导时链式法则
步骤 2/4
目标：步骤2：等价无穷小替换
当$x \to 0^+$时，$\ln(1+x) \sim x$，$\frac{1}{1+x} \to 1$，$f(\ln(1+x)) \sim f(x)$（因为$\ln(1+x) \sim x$且$f$连续）。因此分子等价于$x \cdot f(x)$。分母中$\int_0^x \sqrt{f(t)} dt$和$\sqrt{f(x)}$需进一步处理。
公式：$$\ln(1+x) \sim x, \quad \frac{1}{1+x} \to 1, \quad f(\ln(1+x)) \sim f(x)$$
提示：注意等价无穷小替换需在极限过程中成立
步骤 3/4
目标：步骤3：利用已知条件展开$f(x)$
由$f(0)=0$，$f'(0)=\frac{1}{2}$，得$f(x) \sim \frac{x}{2}$（当$x \to 0^+$）。于是$\sqrt{f(x)} \sim \sqrt{\frac{x}{2}}$。计算$\int_0^x \sqrt{f(t)} dt \sim \int_0^x \sqrt{\frac{t}{2}} dt = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2}} x^{3/2}$。因此分母等价于$2 \cdot \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2}} x^{3/2} \cdot \sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} x^2 = \frac{2}{3} x^2$。
公式：$$f(x) \sim \frac{x}{2}, \quad \sqrt{f(x)} \sim \sqrt{\frac{x}{2}}, \quad \int_0^x \sqrt{f(t)} dt \sim \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2}} x^{3/2}$$
提示：注意等价无穷小替换时积分限的对应
步骤 4/4
目标：步骤4：代入极限并计算
分子等价于$x \cdot f(x) \sim x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2}$。因此原极限为：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{2}{3} x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{3}$。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{2}{3}x^2} = \frac{3}{4}$$
提示：注意等价无穷小替换的适用条件

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