kaoyan2advanced 高等数学 第7题
📝 题目
### 第7题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{e}{2}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle (1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$，$\displaystyle (1+2x)^{\frac{1}{2x}}=e^{\frac{\ln(1+2x)}{2x}}$，当$x\to0$时，$\displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+o(x)$，$\displaystyle \frac{\ln(1+2x)}{2x}=1-x+o(x)$，故差$\displaystyle =e^{1-\frac{x}{2}}-e^{1-x}=e^1(e^{-\frac{x}{2}}-e^{-x})\sim e\left(-\frac{x}{2}+x\right)=\frac{e x}{2}$。 步骤2：分母$\sin x \sim x$，原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\frac{e x}{2}}{x}=\frac{e}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简分子中的指数形式
将分子中的两项分别化为指数形式：$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$，$(1+2x)^{\frac{1}{2x}} = e^{\frac{\ln(1+2x)}{2x}}$。
公式：$$a^b = e^{b\ln a}$$
提示：注意指数形式的转换，避免直接代入
步骤 2/6
目标：对指数进行泰勒展开
当$x \to 0$时，利用泰勒展开：$\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)$，$\frac{\ln(1+2x)}{2x} = 1 - x + o(x)$。
公式：$$\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x), \quad \frac{\ln(1+2x)}{2x} = 1 - x + o(x)$$
提示：注意展开到一阶，保留o(x)项
步骤 3/6
目标：计算分子差值的等价无穷小
分子差值为：$e^{1-\frac{x}{2}} - e^{1-x} = e(e^{-\frac{x}{2}} - e^{-x})$。对$e^{-\frac{x}{2}}$和$e^{-x}$展开：$e^{-\frac{x}{2}} \sim 1 - \frac{x}{2}$，$e^{-x} \sim 1 - x$，因此$e(e^{-\frac{x}{2}} - e^{-x}) \sim e\left(-\frac{x}{2} + x\right) = \frac{e x}{2}$。
提示：注意指数函数展开时保留一阶项
步骤 4/6
目标：处理分母的等价无穷小
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$。
公式：$$\sin x \sim x \quad (x \to 0)$$
提示：注意等价无穷小替换条件
步骤 5/6
目标：计算极限
原极限化为：$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e x}{2}}{x} = \frac{e}{2}$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - (1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{x} = \frac{e}{2}$$
提示：注意等价无穷小替换的准确性
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，极限值为$\frac{e}{2}$。但注意题目中分子差值为负（因$e^{-\frac{x}{2}} - e^{-x} < 0$），实际等价无穷小应为$-\frac{e x}{2}$，故答案为$-\frac{e}{2}$。
提示：注意分子差值为负，等价无穷小为负
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