kaoyan2advanced 高等数学 第8题
📝 题目
### 第8题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cot ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle e^{\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}}$ **解析**： 步骤1：原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\left(1+\frac{\sin x(\cos\alpha x-\cos\beta x)}{1+\sin x\cos\beta x}\right)^{\cot^3 x}$，当$x\to0$时，$\sin x\sim x$，$\displaystyle \cos\alpha x-\cos\beta x\sim -\frac{(\alpha^2-\beta^2)x^2}{2}$，分母$1+\sin x\cos\beta x\to1$，故底数$\displaystyle \sim 1-\frac{(\alpha^2-\beta^2)x^3}{2}$。 步骤2：指数$\displaystyle \cot^3 x \sim \frac{1}{x^3}$，极限$\displaystyle =e^{-\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简底数，提取公因式
原式 $\displaystyle =\lim_{x\to0}\left(1+\frac{\sin x(\cos\alpha x-\cos\beta x)}{1+\sin x\cos\beta x}\right)^{\cot^3 x}$
公式：$$\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x} = 1 + \frac{\sin x (\cos \alpha x - \cos \beta x)}{1+\sin x \cos \beta x}$$
提示：注意提取公因式时保持分母不变
步骤 2/5
目标：利用等价无穷小替换
当 $x\to0$ 时，$\sin x\sim x$，$\cos\alpha x-\cos\beta x\sim -\frac{(\alpha^2-\beta^2)x^2}{2}$，分母 $1+\sin x\cos\beta x\to1$，因此底数 $\displaystyle \sim 1-\frac{(\alpha^2-\beta^2)x^3}{2}$
公式：$$\sin x \sim x, \quad \cos\alpha x - \cos\beta x \sim -\frac{(\alpha^2-\beta^2)x^2}{2}$$
提示：注意分母极限为1，底数化简时保留高阶项
步骤 3/5
目标：处理指数部分
当 $x\to0$ 时，$\cot^3 x\sim \frac{1}{x^3}$
公式：$$\cot^3 x \sim \frac{1}{x^3} \quad (x \to 0)$$
提示：注意等价无穷小替换条件
步骤 4/5
目标：应用重要极限 $\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e$
原极限 $\displaystyle =\lim_{x\to0}\left[1-\frac{(\alpha^2-\beta^2)x^3}{2}\right]^{\frac{1}{x^3}} = e^{-\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}}$
公式：$$\lim_{u\to 0}(1+u)^{1/u}=e$$
提示：注意指数与分母的匹配
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，极限值为 $\displaystyle e^{\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}}$，即 $\displaystyle e^{\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}}$
提示：注意指数符号的正负
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