kaoyan2advanced 高等数学 第9题
📝 题目
### 第9题
已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^{4}}=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{f(x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
建议荅题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{6}$ **解析**： 步骤1：由条件，$x-\sin x+f(x)=x^4+o(x^4)$，而$\displaystyle x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}$，故$\displaystyle f(x)=x^4+o(x^4)-\frac{x^3}{6}+o(x^3)=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^3}{f(x)}=\lim_{x\to0}\frac{x^3}{-\frac{x^3}{6}}=-6$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限条件写出等价关系
由 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x + f(x)}{x^4} = 1$，得 $x - \sin x + f(x) = x^4 + o(x^4)$。
公式：$$x - \sin x + f(x) = x^4 + o(x^4)$$
提示：注意无穷小阶数的匹配
步骤 2/5
目标：展开 $x - \sin x$ 的泰勒公式
已知 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，所以 $x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$。
公式：$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$
提示：注意sinx展开到x^3项，忽略高阶无穷小
步骤 3/5
目标：代入并解出 $f(x)$ 的表达式
将 $x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ 代入 $x - \sin x + f(x) = x^4 + o(x^4)$，得 $\frac{x^3}{6} + o(x^3) + f(x) = x^4 + o(x^4)$，因此 $f(x) = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$。
公式：$$x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$
提示：注意高阶无穷小的处理
步骤 4/5
目标：计算所求极限
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-\frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3}} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-\frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3}} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$$
提示：注意无穷小阶数匹配，忽略高阶无穷小
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{f(x)} = -6$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x + f(x)}{x^4} = 1$$
提示：注意泰勒展开的阶数匹配
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