kaoyan2advanced 高等数学 第11题
📝 题目
### 第11题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{3}$ **解析**： 步骤1：利用定积分定义，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}=\int_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$。 步骤2：原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt{k}}{\sqrt{n^3+n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}}{n^{3/2}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{2}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：将分子和分母进行变形
原式 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n \sqrt{k}}{\sqrt{n^3+n}}$，分母可写为 $\sqrt{n^3+n} = n^{3/2} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}$。
公式：$$\sqrt{n^3+n} = n^{3/2} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}$$
提示：注意分母变形时提取n^{3/2}
步骤 2/6
目标：步骤2：提取因子并构造定积分形式
原式 $\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}}}{n^{3/2} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$$
提示：注意分子分母同时提取n^{3/2}，避免漏项
步骤 3/6
目标：步骤3：利用定积分定义计算分子极限
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$。
公式：$$\int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$$
提示：注意将求和转化为定积分时，区间分割和函数对应正确
步骤 4/6
目标：步骤4：计算分母极限
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = \sqrt{1+0} = 1$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = \sqrt{1+0} = 1$$
提示：注意极限运算中常数因子可提取
步骤 5/6
目标：步骤5：合并极限得到最终结果
原式 $\displaystyle = \frac{\frac{2}{3}}{1} = \frac{2}{3}$。
提示：注意极限运算的合并顺序
步骤 6/6
目标：步骤6：给出答案
因此，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}} = \frac{2}{3}$。
提示：注意极限计算中分子求和与分母的阶数匹配
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