kaoyan2advanced 高等数学 第12题
📝 题目
### 第12题
设当 $0
💡 答案解析
**答案**：$e$ **解析**： 步骤1：当$x\to0^+$时，$f(x)=x^{\sin x}=e^{\sin x\ln x}$，$\sin x\sim x$，$\ln x\to-\infty$，故$\lim_{x\to0^+}f(x)=e^0=1$。 步骤2：$f(0)=a e^0=a$，由连续性，$a=1$。 步骤3：对于$x\in(-1,0]$，$f(x)=2f(x+1)-\ln k$，令$x\to0^-$，则$f(0)=2f(1)-\ln k$，$f(1)=1^{\sin1}=1$，故$1=2-\ln k$，$\ln k=1$，$k=e$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算右极限
当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) = x^{\sin x} = e^{\sin x \ln x}$。由于 $\sin x \sim x$，且 $\ln x \to -\infty$，则 $\sin x \ln x \sim x \ln x \to 0$，因此 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^0 = 1$。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} = e^{\lim_{x \to 0^+} \sin x \ln x} = e^0 = 1$$
提示：注意x→0+时sin x~x，x ln x→0
步骤 2/5
目标：利用连续性条件
由 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，得 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$。但题目中 $f(0)$ 未直接给出，需通过其他区间定义求得。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$
提示：注意f(0)需通过其他区间定义间接求得
步骤 3/5
目标：分析负半轴定义
对于 $x \leqslant 0$，$f(x) = 2f(x+1) - \ln k$。当 $x \to 0^-$ 时，$x+1 \to 1^+$，故 $f(0) = 2f(1) - \ln k$。
公式：$$f(0) = 2f(1) - \ln k$$
提示：注意x→0⁻时x+1→1⁺
步骤 4/5
目标：计算 $f(1)$
当 $x=1$ 时，$0 < 1 \leqslant 1$，所以 $f(1) = 1^{\sin 1} = 1$。
提示：注意定义域分段，x=1属于第一段
步骤 5/5
目标：代入求解 $k$
由连续性 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$，代入 $f(0) = 2 \times 1 - \ln k = 1$，得 $2 - \ln k = 1$，即 $\ln k = 1$，解得 $k = e$。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$$
提示：注意分段点处连续性条件的使用
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