kaoyan2advanced 高等数学 第13题
📝 题目
### 第13题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+2}+\cdots+\frac{n}{n+n}\right) \sin \frac{\pi}{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln2$，故$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{n}{n+k}=n\ln2+o(n)$。 步骤2：$\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}\sim\frac{\pi}{n}$，原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}(n\ln2)\cdot\frac{\pi}{n}=\pi\ln2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：将求和表达式转化为定积分形式
原极限为 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{n}{n+k}\right)\sin\frac{\pi}{n}$。先处理求和部分：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{n}{n+k}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$。令 $x_k=\frac{k}{n}$，则 $\Delta x=\frac{1}{n}$，于是 $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\to\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln 2$，因此 $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{n}{n+k}=n\ln 2+o(n)$。
公式：$$\sum_{k=1}^n\frac{n}{n+k}=n\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$
提示：注意将求和转化为定积分时需提取因子1/n
步骤 2/5
目标：步骤2：处理正弦函数的等价无穷小
当 $n\to\infty$ 时，$\sin\frac{\pi}{n}\sim\frac{\pi}{n}$，即 $\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}=\frac{\pi}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$。
公式：$$\sin\frac{\pi}{n} \sim \frac{\pi}{n} \quad (n \to \infty)$$
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 3/5
目标：步骤3：代入极限并化简
原式 $\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(n\ln 2+o(n)\right)\cdot\left(\frac{\pi}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\pi\ln 2+\frac{\pi\cdot o(n)}{n}+\frac{n\ln 2\cdot o(1/n)}{1}+o(n)o(1/n)\right)$。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\left(n\ln 2+o(n)\right)\cdot\left(\frac{\pi}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\pi\ln 2+\frac{\pi\cdot o(n)}{n}+\frac{n\ln 2\cdot o(1/n)}{1}+o(n)o(1/n)\right)$$
提示：注意高阶无穷小的运算规则
步骤 4/5
目标：步骤4：计算极限结果
由于 $\displaystyle \frac{o(n)}{n}\to 0$，$n\cdot o\left(\frac{1}{n}\right)\to 0$，$o(n)o\left(\frac{1}{n}\right)\to 0$，因此极限值为 $\pi\ln 2$。
提示：注意高阶无穷小项的合并处理
步骤 5/5
目标：步骤5：得出最终答案
故 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+2}+\cdots+\frac{n}{n+n}\right)\sin\frac{\pi}{n}=\pi\ln 2$。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln 2$$
提示：注意定积分定义与极限运算顺序
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