kaoyan2advanced 高等数学 第14题
📝 题目
### 第14题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\arctan \frac{x}{2}}{1-\mathrm{e}^{\sin x}}, & x>0, \\ a \mathrm{e}^{2 x}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ． 建议签题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：$x\to0^+$时，$\displaystyle \arctan\frac{x}{2}\sim\frac{x}{2}$，$1-e^{\sin x}\sim -\sin x\sim -x$，故$\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=\frac{x/2}{-x}=-\frac{1}{2}$。 步骤2：$f(0)=a e^0=a$，由连续性，$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算右极限
当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan\frac{x}{2} \sim \frac{x}{2}$，$1-\mathrm{e}^{\sin x} \sim -\sin x \sim -x$，因此 $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x}{2}}{-x} = -\frac{1}{2}.$$
公式：$$\arctan\frac{x}{2} \sim \frac{x}{2}, \quad 1-\mathrm{e}^{\sin x} \sim -\sin x \sim -x$$
提示：注意等价无穷小替换时符号处理
步骤 2/4
目标：计算函数值
由定义，$f(0) = a \mathrm{e}^{0} = a$。
提示：注意分段函数在分段点的定义
步骤 3/4
目标：利用连续性条件
函数在 $x=0$ 处连续，则左极限等于右极限等于函数值，即 $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0).$$ 代入得 $$-\frac{1}{2} = a.$$
公式：$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$
提示：注意左右极限与函数值相等
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，$a = -\frac{1}{2}$。
提示：注意极限计算中分母趋于0的处理
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