kaoyan2advanced 高等数学 第15题

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### 第15题

当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left[\frac{\mathrm{e}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}\right]^{x}-\sqrt{\mathrm{e}}$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

建放谷题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

💡 答案解析

**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle t=\frac{1}{x}$，则$x\to\infty$时$t\to0$，原式$\displaystyle =\left[\frac{e}{(1+t)^{1/t}}\right]^{1/t}-\sqrt{e}$。 步骤2：$\displaystyle (1+t)^{1/t}=e^{1-\frac{t}{2}+\frac{11}{24}t^2+o(t^2)}$，故$\displaystyle \frac{e}{(1+t)^{1/t}}=e^{\frac{t}{2}-\frac{11}{24}t^2+o(t^2)}$，其$1/t$次方为$\displaystyle e^{\frac{1}{2}-\frac{11}{24}t+o(t)}$，展开得$\displaystyle \sqrt{e}\left(1-\frac{11}{24}t+o(t)\right)$。 步骤3：与$\sqrt{e}$的差为$\displaystyle -\frac{11}{24}\sqrt{e}t+o(t)$，即$\displaystyle -\frac{11}{24}\sqrt{e}\cdot\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$，故与$x^{-1}$同阶，$k=1$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：变量替换与等价形式转化
令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，原式化为： $$\left[\frac{e}{(1+t)^{1/t}}\right]^{1/t} - \sqrt{e}$$
公式：$$\left[\frac{e}{(1+t)^{1/t}}\right]^{1/t} - \sqrt{e}$$
提示：注意t趋于0时(1+t)^{1/t}趋于e
步骤 2/5
目标：展开 $(1+t)^{1/t}$
利用 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$，得： $$(1+t)^{1/t} = e^{\frac{1}{t}\ln(1+t)} = e^{1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \frac{t^3}{4} + \cdots}$$ 保留至 $t^2$ 项：$(1+t)^{1/t} = e^{1 - \frac{t}{2} + \frac{11}{24}t^2 + o(t^2)}$
公式：$$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$$
提示：注意展开到足够阶数，避免遗漏高阶项
步骤 3/5
目标：计算 $\frac{e}{(1+t)^{1/t}}$ 并取 $1/t$ 次方
$$\frac{e}{(1+t)^{1/t}} = e^{1 - \left(1 - \frac{t}{2} + \frac{11}{24}t^2 + o(t^2)\right)} = e^{\frac{t}{2} - \frac{11}{24}t^2 + o(t^2)}$$ 其 $1/t$ 次方为： $$\left[\frac{e}{(1+t)^{1/t}}\right]^{1/t} = e^{\frac{1}{2} - \frac{11}{24}t + o(t)} = \sqrt{e} \cdot e^{-\frac{11}{24}t + o(t)}$$
公式：$$\frac{e}{(1+t)^{1/t}} = e^{1 - \left(1 - \frac{t}{2} + \frac{11}{24}t^2 + o(t^2)\right)} = e^{\frac{t}{2} - \frac{11}{24}t^2 + o(t^2)}$$
提示：注意泰勒展开的精度和指数运算
步骤 4/5
目标：展开指数并求差
将 $e^{-\frac{11}{24}t + o(t)}$ 展开为 $1 - \frac{11}{24}t + o(t)$，则： $$\left[\frac{e}{(1+t)^{1/t}}\right]^{1/t} = \sqrt{e}\left(1 - \frac{11}{24}t + o(t)\right)$$ 与 $\sqrt{e}$ 的差为： $$-\frac{11}{24}\sqrt{e} \, t + o(t) = -\frac{11}{24}\sqrt{e} \cdot \frac{1}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$$
公式：$$e^{x} = 1 + x + o(x)$$
提示：注意展开到一阶项，忽略高阶无穷小
步骤 5/5
目标：确定同阶无穷小的阶数
该差与 $\frac{1}{x}$ 同阶，即与 $x^{-1}$ 同阶，因此 $k = 1$。
提示：注意同阶无穷小的定义

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