kaoyan2advanced 高等数学 第4题
📝 题目
### 第4题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{4}$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle x=\frac{1}{t^2}$，则$x\to+\infty$时$t\to0^+$，原式$\displaystyle =\lim_{t\to0^+}\frac{1}{t^3}\left(\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}-\frac{2}{t}\right)$。 步骤2：通分，分子$=\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1-t^2}-2$，展开$\displaystyle \sqrt{1+t^2}=1+\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+o(t^4)$，$\displaystyle \sqrt{1-t^2}=1-\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+o(t^4)$，相加得$\displaystyle 2-\frac{t^4}{4}+o(t^4)$，减去2得$\displaystyle -\frac{t^4}{4}+o(t^4)$。 步骤3：原式$\displaystyle =\lim_{t\to0^+}\frac{-\frac{t^4}{4}}{t^3\cdot t} = -\frac{1}{4}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换
令 $x = \frac{1}{t^2}$，则当 $x \to +\infty$ 时 $t \to 0^+$。原式化为：
$$\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}) = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t^3}\left(\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}-\frac{2}{t}\right)$$
公式：$$\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}) = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t^3}\left(\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}-\frac{2}{t}\right)$$
提示：注意t趋近于0+，代换后分母有t^3
步骤 2/5
目标：通分与化简
将括号内通分，分子为 $\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1-t^2}-2$，分母为 $t$，因此原式化为：
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1-t^2}-2}{t^4}$$
公式：$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1-t^2}-2}{t^4}$$
提示：注意变量替换后极限方向
步骤 3/5
目标：泰勒展开
利用泰勒展开：
$$\sqrt{1+t^2} = 1 + \frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{8} + o(t^4)$$
$$\sqrt{1-t^2} = 1 - \frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{8} + o(t^4)$$
相加得：
$$\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1-t^2} = 2 - \frac{t^4}{4} + o(t^4)$$
减去2得：
$$\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1-t^2}-2 = -\frac{t^4}{4} + o(t^4)$$
公式：$$\sqrt{1+t^2} = 1 + \frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{8} + o(t^4)$$
提示：注意展开到足够阶数，避免漏项
步骤 4/5
目标：代入求极限
将展开结果代入原式：
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{-\frac{t^4}{4} + o(t^4)}{t^4} = -\frac{1}{4}$$
公式：$$\lim_{t \to 0^+} \frac{-\frac{t^4}{4} + o(t^4)}{t^4} = -\frac{1}{4}$$
提示：注意高阶无穷小的处理，代入后化简
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，原极限的值为 $\boxed{-\dfrac{1}{4}}$。
公式：$$\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}) = -\frac{1}{4}$$
提示：注意有理化时分子分母同乘共轭式
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