kaoyan2advanced 高等数学 第3题
📝 题目
### 第3题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle e^{-\frac{1}{2}}$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}-\arctan x$，则$x=\cot t$，当$x\to+\infty$时，$t\to0^+$，原式$\displaystyle =\lim_{t\to0^+} t^{\frac{1}{\ln \cot t}}$。 步骤2：取对数，$\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{\ln t}{\ln \cot t}$，$\displaystyle \ln \cot t \sim \ln \frac{1}{t} = -\ln t$，故极限$=-1$，原式$=e^{-1}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量代换
令 $t = \frac{\pi}{2} - \arctan x$，则 $x = \cot t$。当 $x \to +\infty$ 时，$t \to 0^+$，原极限化为 $\displaystyle \lim_{t \to 0^+} t^{\frac{1}{\ln \cot t}}$。
提示：注意变量代换后极限方向的变化
步骤 2/6
目标：取对数处理幂指型
设 $L = \displaystyle \lim_{t \to 0^+} t^{\frac{1}{\ln \cot t}}$，两边取自然对数得 $\ln L = \displaystyle \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln t}{\ln \cot t}$。
提示：注意变量代换后极限过程的变化
步骤 3/6
目标：化简分母
当 $t \to 0^+$ 时，$\cot t \sim \frac{1}{t}$，因此 $\ln \cot t \sim \ln \frac{1}{t} = -\ln t$。
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 4/6
目标：计算对数极限
代入等价无穷小：$\displaystyle \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln t}{-\ln t} = -1$，即 $\ln L = -1$。
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 5/6
目标：还原原极限
由 $\ln L = -1$ 得 $L = e^{-1}$。
提示：注意指数对数化后求极限
步骤 6/6
目标：最终答案
因此，原极限 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{-1}$。
公式：$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{-1}$$
提示：注意幂指函数取对数处理
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