kaoyan2advanced 高等数学 第2题
📝 题目
### 第2题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$。$
建设荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{6}$ **解析**： 步骤1：利用和差化积，$\displaystyle \cos(\sin x)-\cos x = -2\sin\frac{\sin x+x}{2}\sin\frac{\sin x-x}{2}$。 步骤2：当$x\to0$时，$\displaystyle \sin\frac{\sin x+x}{2} \sim \frac{\sin x+x}{2} \sim x$，$\displaystyle \sin\frac{\sin x-x}{2} \sim \frac{\sin x-x}{2} \sim -\frac{x^3}{12}$，故分子$\displaystyle \sim -2 \cdot x \cdot \left(-\frac{x^3}{12}\right) = \frac{x^4}{6}$。 步骤3：原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{x^4/6}{x^4} = \frac{1}{6}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用和差化积公式化简分子
由和差化积公式：$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$，令 $A=\sin x$，$B=x$，得：
$$\cos(\sin x)-\cos x = -2\sin\frac{\sin x+x}{2}\sin\frac{\sin x-x}{2}$$
公式：$$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
提示：注意和差化积公式的符号
步骤 2/4
目标：对分子中的因子进行等价无穷小替换
当 $x\to0$ 时，$\sin x \sim x$，$\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$，$\sin x + x \sim 2x$。因此：
$$\sin\frac{\sin x+x}{2} \sim \frac{\sin x+x}{2} \sim x$$
$$\sin\frac{\sin x-x}{2} \sim \frac{\sin x-x}{2} \sim -\frac{x^3}{12}$$
公式：$$\cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}$$
提示：注意和差化积后等价无穷小的精度
步骤 3/4
目标：代入等价无穷小，化简分子
将上述等价无穷小代入分子：
$$\cos(\sin x)-\cos x \sim -2 \cdot x \cdot \left(-\frac{x^3}{12}\right) = \frac{x^4}{6}$$
公式：$$\cos(\sin x)-\cos x \sim -2 \cdot x \cdot \left(-\frac{x^3}{12}\right) = \frac{x^4}{6}$$
提示：注意和差化积后等价无穷小的正确代入
步骤 4/4
目标：计算极限
原极限为：
$$\lim_{x\to0}\frac{\cos(\sin x)-\cos x}{x^4} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{x^4}{6}}{x^4} = \frac{1}{6}$$
公式：$$\cos(\sin x)-\cos x \sim -\frac{x^4}{6} \quad (x\to 0)$$
提示：注意泰勒展开到4阶，避免漏项
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