kaoyan2advanced 高等数学 第1题
📝 题目
### 第1题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^{3}}=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建放荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：利用等价无穷小，$(\cos x)^{\sin x} = e^{\sin x \ln \cos x}$，当$x\to0$时，$\displaystyle \ln \cos x \sim -\frac{x^2}{2}$，$\sin x \sim x$，故$\displaystyle \sin x \ln \cos x \sim -\frac{x^3}{2}$，则$\displaystyle (\cos x)^{\sin x} - 1 \sim -\frac{x^3}{2}$。 步骤2：原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3} = \lim_{x\to0}\frac{-[(\cos x)^{\sin x}-1]}{x^3} = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将幂指函数化为指数形式
原式 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1-e^{\sin x \ln \cos x}}{x^3}$
公式：$$a^b = e^{b \ln a}$$
提示：注意幂指函数转换时底数需为正
步骤 2/5
目标：利用等价无穷小化简指数部分
当 $x \to 0$ 时，$\ln \cos x \sim -\frac{x^2}{2}$，$\sin x \sim x$，故 $\sin x \ln \cos x \sim -\frac{x^3}{2}$
公式：$$\sin x \ln \cos x \sim -\frac{x^3}{2}$$
提示：注意等价无穷小替换的适用条件
步骤 3/5
目标：应用等价无穷小替换指数函数
由 $e^u - 1 \sim u$（$u \to 0$），得 $e^{\sin x \ln \cos x} - 1 \sim -\frac{x^3}{2}$，即 $1 - e^{\sin x \ln \cos x} \sim \frac{x^3}{2}$
公式：$$e^u - 1 \sim u \quad (u \to 0)$$
提示：注意指数函数替换后符号处理
步骤 4/5
目标：代入极限计算
原式 $\displaystyle = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
提示：注意等价无穷小替换的适用条件
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，极限值为 $\boxed{\frac{1}{2}}$
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - (\cos x)^{\sin x}}{x^3} = \frac{1}{2}$$
提示：注意等价无穷小替换的适用条件
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