kaoyan2advanced 高等数学 第154题
📝 题目
### 第154题
设 $0
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：在区域$D$上，$x+y\in[a,1]$，且$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域中变量x+y的取值范围
区域D由x轴、y轴、直线x+y=a及x+y=1围成，其中0
提示：注意x+y的范围由边界直线决定
步骤 2/5
目标：分析被积函数在区间[a,1]上的性质
令t=x+y∈[a,1]。则：
- sin²(t) ∈ [0,1]，且当t∈(0,1]时，sin²(t) < t（因为sin t < t，且sin t > 0）。
- ln³(t) ≤ 0，因为t≤1时ln(t)≤0，立方后仍非正。
- t ∈ [a,1] > 0。
提示：注意sin²(t)与t的大小关系
步骤 3/5
目标：比较被积函数的大小关系
在t∈[a,1]上，ln³(t) ≤ 0 < sin²(t) < t，因此有：
ln³(t) < sin²(t) < t。
提示：注意t的范围是[a,1]且0
步骤 4/5
目标：利用积分保序性比较积分值
由于被积函数在区域D上处处满足ln³(x+y) < sin²(x+y) < x+y，且区域D面积大于0，根据二重积分的保序性，有：
J = ∬_D ln³(x+y) dσ < I = ∬_D sin²(x+y) dσ < K = ∬_D (x+y) dσ。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, d\sigma \leq \iint_D g(x,y) \, d\sigma \quad \text{若} \ f(x,y) \leq g(x,y) \ \text{在} \ D \ \text{上}$$
提示：注意比较函数大小需在区域上处处成立
步骤 5/5
目标：得出最终排序并选择答案
因此J < I < K，对应选项（D）。
提示：注意积分区域边界和函数单调性
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