kaoyan2advanced 高等数学 第153题
📝 题目
### 第153题
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围区域，则 $f(x, y)$ 等于 （A）$x y$ ． （B） $2 x y$ ． （C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ． （D）$x y+1$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：令$A=\iint_D f(u,v) du dv$，则$f(x,y)=xy+A$。两边在$D$上积分：$A=\iint_D (xy+A) d\sigma = \iint_D xy d\sigma + A \cdot \text{面积}(D)$。$D: 0\leq y\leq x^2, 0\leq x\leq 1$，面积$\displaystyle =\int_0^1 x^2 dx = \frac13$。$\displaystyle \iint_D xy d\sigma = \int_0^1 dx \int_0^{x^2} xy dy = \int_0^1 x\cdot \frac{x^4}{2} dx = \frac12\int_0^1 x^5 dx = \frac1{12}$。故$\displaystyle A=\frac1{12} + \frac13 A$，解得$\displaystyle A=\frac18$，所以$\displaystyle f(x,y)=xy+\frac18$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入常数A
令 $A = \iint_D f(u,v) \, du \, dv$，则 $f(x,y) = xy + A$。
公式：$$A = \iint_D f(u,v) \, du \, dv$$
提示：注意A是常数，与变量无关
步骤 2/6
目标：两边在D上积分
对 $f(x,y) = xy + A$ 在区域 $D$ 上积分：$A = \iint_D (xy + A) \, d\sigma = \iint_D xy \, d\sigma + A \cdot \text{面积}(D)$。
公式：$$A = \iint_D xy \, d\sigma + A \cdot \text{面积}(D)$$
提示：注意A是常数，积分时提出
步骤 3/6
目标：计算区域D的面积
区域 $D$ 由 $y=0, y=x^2, x=1$ 围成，即 $0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^2$。面积 $\text{面积}(D) = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$。
公式：$$\text{面积}(D) = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$$
提示：注意积分区域边界为曲线y=x^2
步骤 4/6
目标：计算二重积分∬_D xy dσ
$\iint_D xy \, d\sigma = \int_0^1 dx \int_0^{x^2} xy \, dy = \int_0^1 x \cdot \frac{x^4}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^5 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$。
公式：$$\iint_D xy \, d\sigma = \int_0^1 dx \int_0^{x^2} xy \, dy$$
提示：注意积分区域D由y=x^2和y=0围成
步骤 5/6
目标：解出常数A
代入得 $A = \frac{1}{12} + \frac{1}{3}A$，移项 $A - \frac{1}{3}A = \frac{1}{12}$，即 $\frac{2}{3}A = \frac{1}{12}$，解得 $A = \frac{1}{8}$。
公式：$$A = \frac{1}{12} + \frac{1}{3}A$$
提示：移项时注意系数合并
步骤 6/6
目标：得出f(x,y)表达式
因此 $f(x,y) = xy + \frac{1}{8}$，对应选项 (C)。
公式：$$f(x,y)=xy+\iint_D f(u,v)\,du\,dv$$
提示：注意积分区域D的边界是y=0, x=1, y=x
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