kaoyan2advanced 高等数学 第152题
📝 题目
### 第152题
设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi \operatorname{tarcsin} y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$. （B） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi \arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$. （C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi \arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：原积分区域：$\displaystyle x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$，$y\in[\sin x,1]$。由于$\sin x$在$\displaystyle [\frac{\pi}{2},\pi]$上递减，$y$从$\sin x$到$1$，交换次序：$y\in[0,1]$，$x$从$\pi-\arcsin y$到$\pi$（因为当$\displaystyle x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$时，$x=\pi-\arcsin y$）。故$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} dx \int_{\sin x}^1 f dy = \int_0^1 dy \int_{\pi-\arcsin y}^{\pi} f dx$。 **难度**：★★★☆☆