📝 题目
### 第151题
累次积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
建议荅题对间 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：识别极坐标积分区域
给定累次积分：
$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{2\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \mathrm{d}r$$
极坐标下，$r$ 从 $0$ 到 $2\sin\theta$，$\theta$ 从 $\frac{\pi}{4}$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
曲线 $r=2\sin\theta$ 对应直角坐标方程：$r=2\sin\theta \Rightarrow r^2=2r\sin\theta \Rightarrow x^2+y^2=2y$，即 $x^2+(y-1)^2=1$，这是一个圆心在 $(0,1)$、半径为 $1$ 的圆。
公式：$$r=2\sin\theta \Rightarrow x^2+(y-1)^2=1$$
提示：注意极坐标与直角坐标转换的几何意义
目标：步骤2：确定直角坐标下积分区域
在极坐标中，$\theta$ 从 $\frac{\pi}{4}$ 到 $\frac{\pi}{2}$，对应 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$。
- 当 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 时，$y=x$（因为 $\tan\theta=1$）。
- 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，$x=0$。
- $r$ 从 $0$ 到 $2\sin\theta$，即从原点出发到圆 $x^2+(y-1)^2=1$ 的边界。
因此，直角坐标下区域由 $x=0$、$y=x$ 和圆 $x^2+(y-1)^2=1$ 围成。
对于固定的 $x$，$y$ 的下界为 $y=x$，上界为圆的上半部分 $y=1+\sqrt{1-x^2}$。
$x$ 的范围：从 $x=0$ 到 $y=x$ 与圆的交点。解 $x^2+(x-1)^2=1 \Rightarrow 2x^2-2x+1=1 \Rightarrow 2x(x-1)=0$，得 $x=0$ 或 $x=1$。故 $x$ 从 $0$ 到 $1$。
提示：注意极坐标到直角坐标的转换关系
目标：步骤3：写出直角坐标下的累次积分
因此，直角坐标下积分区域为：
$$0 \leq x \leq 1, \quad x \leq y \leq 1+\sqrt{1-x^2}$$
对应的累次积分为：
$$\int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{x}^{1+\sqrt{1-x^2}} f(x,y) \mathrm{d}y$$
公式：$$\int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{x}^{1+\sqrt{1-x^2}} f(x,y) \mathrm{d}y$$
提示：注意积分限对应关系，y下限为x
目标：步骤4：匹配选项
比较选项：
（A）$\int_{0}^{2} \mathrm{d}y \int_{0}^{\sqrt{2y-y^{2}}} f(x,y) \mathrm{d}x$ — 不符。
（B）$\int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y}^{\sqrt{2y-y^{2}}} f(x,y) \mathrm{d}x$ — 不符。
（C）$\int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{x}^{2} f(x,y) \mathrm{d}y$ — 不符。
（D）$\int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{x}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y) \mathrm{d}y$ — 完全匹配。
故正确答案为 D。
提示：注意积分区域转换时上下限的对应关系