kaoyan2advanced 高等数学 第150题

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📝 题目

### 第150题

D: x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ ，则二重积分 $I=\iint_{D}\left(x y^{2}+5 \mathrm{e}^{x} \sin ^{3} y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$\frac{\pi}{2}$ ． （B）$\frac{\pi}{3}$ ． （C）$\frac{\pi}{4}$ ． （D）$\frac{\pi}{5}$ ．

建议答题时问$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**：区域$D: (x-1)^2+y^2\leq 1$，关于$x$轴对称。$xy^2$关于$y$是偶函数，$5e^x\sin^3 y$关于$y$是奇函数，故$\iint_D 5e^x\sin^3 y dxdy=0$。$I=\iint_D xy^2 dxdy$。利用极坐标：$x=1+r\cos\theta, y=r\sin\theta$，$r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi]$。$I=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1+r\cos\theta) r^2\sin^2\theta \cdot r dr = \int_0^{2\pi} \sin^2\theta d\theta \int_0^1 r^3 dr + \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta d\theta \int_0^1 r^4 dr$。第二项$\int_0^{2\pi}\cos\theta\sin^2\theta d\theta=0$，第一项$\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta=\pi$，$\displaystyle \int_0^1 r^3 dr=\frac14$，故$\displaystyle I=\pi\cdot\frac14=\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：步骤1：化简积分区域和被积函数
区域 $D: x^2 + y^2 \leq 2x$ 可化为 $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$，即圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的圆盘。该区域关于 $x$ 轴对称。被积函数 $xy^2 + 5e^x \sin^3 y$ 中，$xy^2$ 关于 $y$ 是偶函数，$5e^x \sin^3 y$ 关于 $y$ 是奇函数。由对称性，奇函数部分在对称区域上的积分为零，故 $I = \iint_D xy^2 \, dxdy$。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_D xy^2 \, dxdy$$
提示：注意奇偶性对称性应用
步骤 2/4
目标：步骤2：选择坐标系并变换
采用平移极坐标：令 $x = 1 + r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $r \in [0,1]$, $\theta \in [0,2\pi]$，雅可比行列式为 $r$。积分变为： $$I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1 + r\cos\theta) (r\sin\theta)^2 \cdot r \, dr = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1 + r\cos\theta) r^3 \sin^2\theta \, dr.$$
公式：$$x = 1 + r\cos\theta, y = r\sin\theta, r \in [0,1], \theta \in [0,2\pi], |J| = r$$
提示：注意平移后圆心在(1,0)，r范围是0到1
步骤 3/4
目标：步骤3：分离积分并计算
将积分拆分为两项： $$I = \int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta \int_0^1 r^3 \, dr + \int_0^{2\pi} \cos\theta \sin^2\theta \, d\theta \int_0^1 r^4 \, dr.$$ 第二项中，$\int_0^{2\pi} \cos\theta \sin^2\theta \, d\theta = 0$（因为被积函数是奇函数且周期为 $2\pi$）。第一项中，$\int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta = \pi$，$\int_0^1 r^3 \, dr = \frac{1}{4}$。
公式：$$\int_0^{2\pi} \cos\theta \sin^2\theta \, d\theta = 0$$
提示：注意奇函数在对称区间积分为零
步骤 4/4
目标：步骤4：得出最终结果
因此，$I = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}$。对应选项为 (C)。
提示：注意积分区域为圆盘，利用对称性简化计算。

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