kaoyan2advanced 高等数学 第149题
📝 题目
### 第149题
设 $D$ 是由直线 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=\frac{1}{2}$ 和 $x+y=1$ 所围成，记 $I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma, I_{3}=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，则 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 的大小关系为 （A）$I_{1} 建放谷题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$ 秤佔 管题 区域 纠龍 䡒已
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：在区域$D$上，$\displaystyle x+y\in [\frac12,1]$。在此区间上，$\ln(x+y)\leq 0$，$(x+y)^2\leq x+y$（因为$x+y\leq 1$），且$(x+y)^2\geq 0$。比较大小：$\ln(x+y)<0$，$(x+y)^2>0$，但$(x+y)^2$与$x+y$比较，由于$x+y\leq 1$，有$(x+y)^2\leq x+y$，且等号仅当$x+y=1$时成立。故$\ln(x+y)<0<(x+y)^2\leq x+y$，积分后得$I_1
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域中x+y的取值范围
由直线$x=0, y=0, x+y=\frac{1}{2}$和$x+y=1$围成的区域$D$，可知$x+y$在$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$内变化。
提示：注意边界直线方程的含义
步骤 2/4
目标：比较被积函数在区间上的大小
在区间$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$上：
- $\ln(x+y) \leq 0$，因为$\ln t \leq 0$当$t \in (0,1]$，且等号仅当$t=1$时成立；
- $(x+y)^2 \geq 0$，且$(x+y)^2 \leq x+y$，因为$x+y \leq 1$，等号仅当$x+y=1$时成立；
- $x+y > 0$。
因此，$\ln(x+y) < 0 < (x+y)^2 \leq x+y$。
提示：注意ln(x+y)在(0,1]上非正
步骤 3/4
目标：利用积分保号性比较积分值
由于在区域$D$上，被积函数满足$\ln(x+y) < (x+y)^2 \leq x+y$，且区域面积大于零，根据二重积分的保号性，有：
$$\iint_D \ln(x+y) \, d\sigma < \iint_D (x+y)^2 \, d\sigma \leq \iint_D (x+y) \, d\sigma.$$
即$I_1 < I_2 \leq I_3$。注意等号仅在$x+y=1$的边界上成立，不影响严格不等式，故$I_1 < I_2 < I_3$。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, d\sigma \leq \iint_D g(x,y) \, d\sigma \quad \text{若} \ f(x,y) \leq g(x,y) \ \text{在} \ D \ \text{上}$$
提示：注意边界不影响严格不等式
步骤 4/4
目标：得出大小关系并选择答案
因此，$I_1 < I_2 < I_3$，对应选项（A）。
提示：注意积分区域边界和函数单调性
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