kaoyan2advanced 高等数学 第148题
📝 题目
### 第148题
D$ 是由 $y=\ln x, y=0, x=2$ 所围成的区域，则二重积分 $I=\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$-\ln 2$ ． （B）$\frac{1}{\ln 2}$ ． （C） $\ln 2$ ． （D）无法计算．
建役荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：积分区域$D: 0\leq y\leq \ln x, 1\leq x\leq 2$。交换积分次序：$D: e^y\leq x\leq 2, 0\leq y\leq \ln 2$。则$\displaystyle I=\int_0^{\ln 2} dy \int_{e^y}^2 \frac{e^{xy}}{x^x-1} dx$。注意$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{e^{xy}}{x^x-1}\right)$不易直接积分，但考虑原积分次序：$\displaystyle I=\int_1^2 dx \int_0^{\ln x} \frac{e^{xy}}{x^x-1} dy = \int_1^2 \frac{1}{x^x-1} \cdot \frac{e^{x\ln x}-1}{x} dx = \int_1^2 \frac{x^x-1}{x(x^x-1)} dx = \int_1^2 \frac{1}{x} dx = \ln 2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域
由 $y=\ln x, y=0, x=2$ 所围成的区域 $D$，可表示为 $0\leq y\leq \ln x, 1\leq x\leq 2$。
提示：注意x的下限由y=0与y=lnx交点确定
步骤 2/6
目标：按原次序积分
先对 $y$ 积分：$I=\int_{1}^{2} dx \int_{0}^{\ln x} \frac{e^{xy}}{x^x-1} dy$。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{a}^{b} dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy$$
提示：注意积分限对应区域边界
步骤 3/6
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_{0}^{\ln x} e^{xy} dy = \frac{e^{x\ln x}-1}{x} = \frac{x^x-1}{x}$。
公式：$$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$$
提示：注意积分限代入时变量替换
步骤 4/6
目标：代入化简
代入得 $I=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^x-1} \cdot \frac{x^x-1}{x} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。
公式：$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^x-1} \cdot \frac{x^x-1}{x} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$$
提示：注意积分限和化简过程
步骤 5/6
目标：计算定积分
$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = \ln 2$。
公式：$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$
提示：注意积分上下限对应区间
步骤 6/6
目标：得出答案
因此 $I=\ln 2$，对应选项 (C)。
提示：注意积分区域边界和函数奇偶性
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