kaoyan2advanced 高等数学 第47题
📝 题目
### 第47题
设 $y=f(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的正值函数，且对于任意的 $a>0, x=0, x=a$ ， $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周与绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积相同，则 $y=f(x)$ 与 $y=x^{3}$ 所围成的图形面积为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4}$ **解析**： 步骤1：由旋转体体积公式，绕$x$轴旋转体积$V_x=\pi\int_0^a f^2(x)dx$，绕$y$轴旋转体积$V_y=2\pi\int_0^a x f(x)dx$。 步骤2：由$V_x=V_y$得$\pi\int_0^a f^2(x)dx=2\pi\int_0^a x f(x)dx$，即$\int_0^a (f^2(x)-2x f(x))dx=0$。 步骤3：由于$a>0$任意，被积函数恒为零，故$f^2(x)-2x f(x)=0$，解得$f(x)=2x$（正值函数）。 步骤4：$y=2x$与$y=x^3$的交点为$x=0,\sqrt{2}$，所围图形面积$\displaystyle S=\int_0^{\sqrt{2}}(2x-x^3)dx=\left[x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2}}=2-1=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立旋转体体积关系
由旋转体体积公式，绕$x$轴旋转体积$V_x = \pi \int_0^a f^2(x) \, dx$，绕$y$轴旋转体积$V_y = 2\pi \int_0^a x f(x) \, dx$。根据题意$V_x = V_y$，得$\pi \int_0^a f^2(x) \, dx = 2\pi \int_0^a x f(x) \, dx$。
公式：$$V_x = \pi \int_0^a f^2(x) \, dx, \quad V_y = 2\pi \int_0^a x f(x) \, dx$$
提示：注意绕y轴体积公式的系数2π
步骤 2/5
目标：化简积分等式
两边除以$\pi$，得$\int_0^a f^2(x) \, dx = 2 \int_0^a x f(x) \, dx$，即$\int_0^a [f^2(x) - 2x f(x)] \, dx = 0$。
公式：$$\int_0^a f^2(x) \, dx = 2 \int_0^a x f(x) \, dx$$
提示：注意等式两边同时除以π
步骤 3/5
目标：利用任意性确定函数形式
由于$a>0$任意，被积函数$f^2(x) - 2x f(x)$在$[0,+\infty)$上连续且恒为零，故$f^2(x) - 2x f(x) = 0$，即$f(x)[f(x) - 2x] = 0$。因$f(x)$为正值函数，所以$f(x) = 2x$。
公式：$$f^2(x) - 2x f(x) = 0$$
提示：注意正值条件排除零解
步骤 4/5
目标：求两曲线交点
曲线$y = 2x$与$y = x^3$联立，$2x = x^3$，解得$x = 0$或$x = \sqrt{2}$（负根舍去）。
公式：$$2x = x^3$$
提示：注意舍去负根
步骤 5/5
目标：计算所围图形面积
所围图形面积$S = \int_0^{\sqrt{2}} (2x - x^3) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\sqrt{2}} = (2 - 1) - 0 = 1$。
公式：$$S = \int_0^{\sqrt{2}} (2x - x^3) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\sqrt{2}} = 1$$
提示：注意积分上下限和原函数计算
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