kaoyan2advanced 高等数学 第46题
📝 题目
### 第46题
46曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ 与其渐近线围成的区域绕其渐近线旋转所得旋转体体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．
㸷估
💡 答案解析
**答案**：$\pi^{2}$ **解析**：步骤1：曲线$\displaystyle y=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$，渐近线为$y=1$（当$x\to\pm\infty$）。步骤2：区域为曲线与$y=1$之间，绕$y=1$旋转。步骤3：体积$\displaystyle V=\int_{-\infty}^{\infty}\pi(1-\frac{x^{2}}{1+x^{2}})^{2}dx = \pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}dx = 2\pi\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}$。步骤4：令$x=\tan t$，$dx=\sec^{2}t dt$，积分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec^{2}t}{\sec^{4}t}dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t dt = \frac{\pi}{4}$，故$\displaystyle V=2\pi\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^{2}}{2}$，但答案$\pi^{2}$，检查：旋转体体积公式应为$\pi\int (1-y)^{2}dx$，这里$\displaystyle 1-y=\frac{1}{1+x^{2}}$，平方得$\displaystyle \frac{1}{(1+x^{2})^{2}}$，积分得$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，乘以$\pi$得$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{2}$，可能答案有误。 **难度**：★★★☆☆