kaoyan2advanced 高等数学 第48题
📝 题目
### 第48题
已知曲线 $y=x \mathrm{e}^{x}$ ，直线 $x=a(a>0)$ 与 $x$ 轴所围平面图形的面积为 1 ，则由上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$ ．
建放答题时日
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}(e^2-1)$ **解析**： 步骤1：曲线$y=xe^x$与$x$轴及$x=a$围成面积$A=\int_0^a x e^x dx=1$。 步骤2：计算积分$\int_0^a x e^x dx=(x-1)e^x\big|_0^a=(a-1)e^a+1=1$，得$(a-1)e^a=0$，故$a=1$。 步骤3：旋转体体积$V=\pi\int_0^1 (x e^x)^2 dx=\pi\int_0^1 x^2 e^{2x} dx$。 步骤4：计算$\displaystyle \int x^2 e^{2x}dx=\frac{1}{2}x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}x e^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C$，代入上下限得$\displaystyle V=\pi\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{2}+\frac{e^2}{4}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{4}(e^2-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立面积方程
曲线 $y = x e^x$ 与 $x$ 轴及直线 $x = a$ 所围平面图形的面积为 $A = \int_0^a x e^x \, dx = 1$。
公式：$$A = \int_0^a x e^x \, dx = 1$$
提示：注意积分下限从0开始，因x>0。
步骤 2/5
目标：计算积分并求解 a
计算 $\int_0^a x e^x \, dx$：使用分部积分法，$\int x e^x \, dx = (x-1)e^x + C$，代入上下限得 $\int_0^a x e^x \, dx = (a-1)e^a - (-1) = (a-1)e^a + 1$。令其等于 1，得 $(a-1)e^a = 0$，由于 $e^a > 0$，故 $a = 1$。
公式：$$\int x e^x \, dx = (x-1)e^x + C$$
提示：注意分部积分后代入上下限时符号变化
步骤 3/5
目标：建立旋转体体积公式
旋转体体积 $V = \pi \int_0^a (x e^x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 x^2 e^{2x} \, dx$。
公式：$$V = \pi \int_0^a (x e^x)^2 \, dx$$
提示：注意被积函数是y^2，不要漏掉平方
步骤 4/5
目标：计算积分
计算 $\int x^2 e^{2x} \, dx$：使用分部积分法两次，得 $\int x^2 e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + C$。代入上下限 0 和 1：$\left[ \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot e^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot e^2 + \frac{1}{4}e^2 \right] - \left[ 0 - 0 + \frac{1}{4} \right] = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{2} + \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{e^2 - 1}{4}$。
公式：$$\int x^2 e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + C$$
提示：分部积分两次，注意符号和系数
步骤 5/5
目标：得出体积
因此 $V = \pi \cdot \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{\pi}{4}(e^2 - 1)$。
公式：$$V = \pi \int_{0}^{1} (x e^x)^2 dx = \pi \cdot \frac{e^2 - 1}{4}$$
提示：注意积分上下限由面积条件确定
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。