kaoyan2advanced 高等数学 第49题
📝 题目
### 第49题
曲线 $y=x^{2}, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于 $\_\_\_\_$ ． □ 纠陽箇记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{3}$ **解析**： 步骤1：旋转体体积$\displaystyle V=\pi\int_0^1 (x^2)^2 dx=\pi\int_0^1 x^4 dx=\frac{\pi}{5}$。 步骤2：形心$x$坐标公式$\displaystyle \bar{x}=\frac{\int_0^1 x\cdot \pi (x^2)^2 dx}{V}=\frac{\pi\int_0^1 x^5 dx}{\pi/5}=5\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定旋转体体积
曲线 $y=x^2$ 与 $x$ 轴及 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转，旋转体体积公式为 $V = \pi \int_0^1 [f(x)]^2 dx$，其中 $f(x)=x^2$。计算得 $V = \pi \int_0^1 x^4 dx = \pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{5}$。
公式：$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$$
提示：注意积分限为0到1
步骤 2/4
目标：计算静矩（对 $x$ 轴的矩）
旋转体对 $x$ 轴的静矩（即 $x$ 方向的一阶矩）为 $M_x = \int_0^1 x \cdot \pi [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^1 x \cdot x^4 dx = \pi \int_0^1 x^5 dx = \pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{6}$。
公式：$$M_x = \pi \int_0^1 x [f(x)]^2 dx$$
提示：注意积分变量是x，被积函数为x乘以f(x)的平方
步骤 3/4
目标：应用形心坐标公式
形心 $x$ 坐标公式为 $\bar{x} = \frac{M_x}{V}$。代入得 $\bar{x} = \frac{\pi/6}{\pi/5} = \frac{5}{6}$。
公式：$$\bar{x} = \frac{M_x}{V}$$
提示：注意区分形心与质心公式
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此，旋转体的形心 $x$ 坐标为 $\boxed{\frac{5}{6}}$。
公式：$$\bar{x} = \frac{\int_{a}^{b} x \cdot \pi [f(x)]^2 dx}{\int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 dx}$$
提示：注意形心公式中分子是x乘体积微元
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