kaoyan2advanced 高等数学 第50题
📝 题目
### 第50题
有一容器，其内侧壁由过原点的曲线 $y=y(x)(x \geqslant 0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成，容器底部 （原点处）开有一小孔，设小孔的面积为 $S$（单位： $\mathrm{m}^{2}$ ）．已知液体从容器底部流出的速率 $v= k \sqrt{2 g h}$（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），其中 $g$ 为重力加速度（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}$ ），$h$ 为小孔上方的液面高度（单位： m ），$k$为大于 0 的常数．若液面高度以 $l \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速率匀速下降，则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$。
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💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{S k \sqrt{2g}}{l} \sqrt{y}$ **解析**： 步骤1：设液面高度为$h$，容器体积$V(h)=\pi\int_0^h [x(y)]^2 dy$，其中$x(y)$是曲线$y=y(x)$的反函数。 步骤2：液面下降速率$\displaystyle \frac{dh}{dt}=-l$，流出体积速率$\displaystyle \frac{dV}{dt}=S v = S k \sqrt{2gh}$。 步骤3：由$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}$得$\pi x^2(h) \cdot (-l) = -S k \sqrt{2gh}$，故$\displaystyle x^2(h)=\frac{S k \sqrt{2g}}{l}\sqrt{h}$。 步骤4：将$h$换为$y$，得$\displaystyle x^2=\frac{S k \sqrt{2g}}{l}\sqrt{y}$，即$\displaystyle y(x)=\left(\frac{l}{S k \sqrt{2g}}\right)^2 x^4$，但题目要求$y(x)$表达式，整理得$\displaystyle y(x)=\frac{l^2}{2g S^2 k^2}x^4$。 **难度**：★★★★☆