💡 答案解析
**答案**：$3$ **解析**： 步骤1：令$z=u(x,y)\cdot v(x,y)$，其中$u=x^2\sin y^5+x^3$，$\displaystyle v=(2x^3+\tan y^4)x^{\frac{y^3}{x^3}+e^{x^5 y^6}}$。 步骤2：在$(1,0)$处，$u(1,0)=1^2\cdot0+1^3=1$，$v(1,0)=(2+0)\cdot1^{0+1}=2$。 步骤3：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=u_x v+u v_x$，$u_x=2x\sin y^5+3x^2$，在$(1,0)$处$u_x=0+3=3$。 步骤4：$v_x$计算复杂，但由对称性，代入$(1,0)$后$v_x$项乘以$u=1$，且$v_x$中因子$x^{\cdots}$在$x=1$时为1，求导后含$\ln x$项在$x=1$时为0，故$v_x(1,0)=6x^2\big|_{x=1}=6$。 步骤5：$\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=3\cdot2+1\cdot6=6+6=12$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：分解函数
令 $z = u(x,y) \cdot v(x,y)$，其中 $u = x^2 \sin y^5 + x^3$，$v = (2x^3 + \tan y^4) x^{\frac{y^3}{x^3} + e^{x^5 y^6}}$。
提示：注意u和v的分解要完整，v包含指数部分
目标：步骤2：计算在点(1,0)处的函数值
在 $(1,0)$ 处，$u(1,0) = 1^2 \cdot \sin 0 + 1^3 = 0 + 1 = 1$；$v(1,0) = (2 \cdot 1^3 + \tan 0) \cdot 1^{\frac{0}{1} + e^{1 \cdot 0}} = (2 + 0) \cdot 1^{0+1} = 2 \cdot 1 = 2$。
提示：注意幂指函数x^{y/x+e^{xy}}的化简
目标：步骤3：求$u$的偏导数并代入
由 $u_x = 2x \sin y^5 + 3x^2$，代入 $(1,0)$ 得 $u_x(1,0) = 2 \cdot 1 \cdot \sin 0 + 3 \cdot 1^2 = 0 + 3 = 3$。
公式：$$u_x = 2x \sin y^5 + 3x^2$$
提示：代入时注意sin0=0
目标：步骤4：求$v$的偏导数并代入
将 $v$ 视为 $v = (2x^3 + \tan y^4) \cdot f(x,y)$，其中 $f = x^{\frac{y^3}{x^3} + e^{x^5 y^6}}$。在 $(1,0)$ 处，$f(1,0)=1$，且 $\ln x$ 项在 $x=1$ 时为0，故 $v_x(1,0) = \left. \frac{\partial}{\partial x}(2x^3 + \tan y^4) \right|_{(1,0)} \cdot f(1,0) + (2x^3+\tan y^4)|_{(1,0)} \cdot f_x(1,0)$。其中 $\frac{\partial}{\partial x}(2x^3) = 6x^2$，在 $x=1$ 时为6；$f_x(1,0)=0$（因为 $f_x$ 含因子 $\ln x$ 在 $x=1$ 时为0）。所以 $v_x(1,0) = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 6$。
提示：注意f_x含lnx因子，x=1时为零
目标：步骤5：应用乘法法则求偏导
由 $\frac{\partial z}{\partial x} = u_x v + u v_x$，代入 $(1,0)$ 得 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)} = u_x(1,0) \cdot v(1,0) + u(1,0) \cdot v_x(1,0) = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 6 + 6 = 12$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = u_x v + u v_x$$
提示：注意代入点后数值计算
目标：步骤6：得出答案
因此，$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)} = 12$。
提示：注意代入点时要仔细计算