kaoyan2advanced 高等数学 第52题
📝 题目
### 第52题
$\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$
建议荅题时问$
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则原式$\displaystyle =\frac{r^2\cos\theta\sin\theta\cdot r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{r^2}=r^2\cos\theta\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)$。 步骤2：当$r\to0$时，$r^2\to0$，且三角函数有界，故极限为$0$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：极坐标变换
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，当 $(x,y) \to (0,0)$ 时 $r \to 0$。
公式：$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r = \sqrt{x^2 + y^2}$$
提示：注意r趋于0时θ任意，需考虑θ的影响
步骤 2/4
目标：代入原式化简
原式 $\displaystyle \lim_{r \to 0} \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)\left[(r\cos\theta)^2 - (r\sin\theta)^2\right]}{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta \cdot r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r^2} = \lim_{r \to 0} r^2 \cos\theta \sin\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta)$。
公式：$$\lim_{r \to 0} \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)[(r\cos\theta)^2 - (r\sin\theta)^2]}{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} = \lim_{r \to 0} r^2 \cos\theta \sin\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta)$$
提示：注意极坐标变换后r的幂次化简
步骤 3/4
目标：利用有界性求极限
由于 $|\cos\theta \sin\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta)| \leq 1$（有界），而 $r^2 \to 0$，根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，得极限为 $0$。
公式：$$\lim_{r\to 0} r^2 \cdot \text{有界量} = 0$$
提示：注意极坐标变换后r^2趋于0
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，$\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} = 0$。
公式：$$\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} = 0$$
提示：注意极限路径无关性，可用极坐标或夹逼准则
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