kaoyan2advanced 高等数学 第53题
📝 题目
### 第53题
设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内有定义，且
$$ $\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+o(\rho),$ $$
其中 $\rho=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}-x, y_{0}\right)}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2a$ **解析**： 步骤1：由全微分定义，$f(x_0+x,y_0)-f(x_0,y_0)=a x+o(|x|)$。 步骤2：同理$f(x_0-x,y_0)-f(x_0,y_0)=a(-x)+o(|x|)$。 步骤3：所求极限$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{[a x+o(|x|)]-[ -a x+o(|x|)]}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2a x+o(|x|)}{x}=2a$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：利用全微分定义写出增量表达式
由题意，$\Delta z = f(x,y) - f(x_0,y_0) = a(x-x_0) + b(y-y_0) + o(\rho)$，其中$\rho = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$。这表示$f$在$(x_0,y_0)$处可微，且$f_x(x_0,y_0)=a$，$f_y(x_0,y_0)=b$。
公式：$$\Delta z = a(x-x_0) + b(y-y_0) + o(\rho), \quad \rho = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$$
提示：注意o(ρ)是ρ的高阶无穷小
步骤 2/6
目标：步骤2：代入特定点$(x_0+x, y_0)$
令$x = x_0 + \Delta x$，$y = y_0$，则$\rho = |\Delta x|$，且$f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0) = a \Delta x + o(|\Delta x|)$。
公式：$$f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0) = a \Delta x + o(|\Delta x|)$$
提示：注意ρ=Δx的绝对值，偏导定义需Δy=0
步骤 3/6
目标：步骤3：代入特定点$(x_0-x, y_0)$
令$x = x_0 - \Delta x$，$y = y_0$，则$\rho = |\Delta x|$，且$f(x_0-\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0) = a(-\Delta x) + o(|\Delta x|) = -a \Delta x + o(|\Delta x|)$。
提示：注意Δx的正负号处理
步骤 4/6
目标：步骤4：计算分子差
分子为$f(x_0+x, y_0) - f(x_0-x, y_0) = [f(x_0+x, y_0) - f(x_0,y_0)] - [f(x_0-x, y_0) - f(x_0,y_0)] = [a x + o(|x|)] - [-a x + o(|x|)] = 2a x + o(|x|)$。
公式：$$\Delta z = f(x_0+x, y_0) - f(x_0-x, y_0) = 2a x + o(|x|)$$
提示：注意偏导定义中增量的符号处理
步骤 5/6
目标：步骤5：求极限
所求极限为$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2a x + o(|x|)}{x} = \lim_{x \to 0} \left(2a + \frac{o(|x|)}{x}\right) = 2a$，因为$\frac{o(|x|)}{x} \to 0$当$x \to 0$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{o(|x|)}{x} = 0$$
提示：注意高阶无穷小除以x的极限为0
步骤 6/6
目标：步骤6：得出答案
因此，极限值为$2a$。
公式：$$\lim_{{(x,y)\to (x_0,y_0)}} \frac{\Delta z}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} = 2a$$
提示：注意全微分的定义和极限的转化
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