kaoyan2advanced 高等数学 第54题
📝 题目
### 第54题
二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 $\mathrm{d} f(0,0)=$ $\_\_\_\_$ ． 建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：计算偏导数$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x^2}}{x}=0$，同理$f_y(0,0)=0$。 步骤2：全微分$\mathrm{d}f(0,0)=f_x(0,0)dx+f_y(0,0)dy=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算偏导数 f_x(0,0)
由定义：$f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$。当$x\neq0$时，$f(x,0)=x^2\sin\frac{1}{\sqrt{x^4}}=x^2\sin\frac{1}{x^2}$，且$f(0,0)=0$，故$\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=x\sin\frac{1}{x^2}$。由于$|x\sin\frac{1}{x^2}|\leq|x|\to0$，所以$f_x(0,0)=0$。
公式：$$f_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$$
提示：注意使用定义求偏导，代入y=0简化
步骤 2/4
目标：计算偏导数 f_y(0,0)
由定义：$f_y(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}$。当$y\neq0$时，$f(0,y)=y^2\sin\frac{1}{\sqrt{y^2}}=y^2\sin\frac{1}{|y|}$，且$f(0,0)=0$，故$\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=y\sin\frac{1}{|y|}$。由于$|y\sin\frac{1}{|y|}|\leq|y|\to0$，所以$f_y(0,0)=0$。
公式：$$f_y(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}$$
提示：注意绝对值处理，极限夹逼
步骤 3/4
目标：写出全微分
全微分公式：$\mathrm{d}f(0,0)=f_x(0,0)\mathrm{d}x+f_y(0,0)\mathrm{d}y$。代入$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$，得$\mathrm{d}f(0,0)=0$。
公式：$$\mathrm{d}f(0,0)=f_x(0,0)\mathrm{d}x+f_y(0,0)\mathrm{d}y$$
提示：注意全微分公式中偏导数的计算
步骤 4/4
目标：得出答案
因此，$\mathrm{d}f(0,0)=0$。
公式：$$\mathrm{d}f(0,0)=0$$
提示：注意全微分的定义和计算
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