kaoyan2advanced 高等数学 第55题
📝 题目
### 第55题
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ，则 $2 f_{x}^{\prime}(0,0)+ f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：由极限条件，$f(x,y)=-3x+4y+o(\sqrt{x^2+y^2})$，故$f(0,0)=0$。 步骤2：$\displaystyle f_x'(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{-3x+o(|x|)}{x}=-3$。 步骤3：$\displaystyle f_y'(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\lim_{y\to0}\frac{4y+o(|y|)}{y}=4$。 步骤4：$2f_x'(0,0)+f_y'(0,0)=2\times(-3)+4=-2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由极限条件推导f(x,y)的局部表达式
已知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)+3x-4y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$，则 $f(x,y)+3x-4y = o(\sqrt{x^2+y^2})$，即 $f(x,y) = -3x+4y+o(\sqrt{x^2+y^2})$。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)+3x-4y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \Rightarrow f(x,y) = -3x+4y+o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意无穷小量的阶数，o(ρ)表示比ρ高阶的无穷小
步骤 2/6
目标：求f(0,0)的值
由连续性，$f(0,0)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} [-3x+4y+o(\sqrt{x^2+y^2})] = 0$。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)$$
提示：注意极限表达式中的高阶无穷小
步骤 3/6
目标：计算偏导数f_x'(0,0)
$f_x'(0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{-3x+o(|x|)}{x} = -3$。
公式：$$f_x'(0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$$
提示：注意代入y=0时f(x,0)的展开式
步骤 4/6
目标：计算偏导数f_y'(0,0)
$f_y'(0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{4y+o(|y|)}{y} = 4$。
公式：$$f_y'(0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}$$
提示：注意分子是f(0,y)-f(0,0)，不是f(0,y)本身
步骤 5/6
目标：计算目标表达式
$2f_x'(0,0)+f_y'(0,0) = 2\times(-3)+4 = -2$。
公式：$$2f_x'(0,0)+f_y'(0,0) = 2\times(-3)+4 = -2$$
提示：注意偏导数符号和代入顺序
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$2f_x'(0,0)+f_y'(0,0) = -2$。
提示：注意偏导数定义与极限结合
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。