kaoyan2advanced 高等数学 第56题
📝 题目
### 第56题
函数 $f(x, y)$ 满足 $f(1,1)=0$ ，且 $f_{x}^{\prime}(x, y)=2 x-2 x y^{2}, f_{y}^{\prime}(x, y)=4 y-2 x^{2} y$ ，则函数 $f(x, y)$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-4$ **解析**： 步骤1：由$f_x'=2x-2xy^2$积分得$f(x,y)=x^2-x^2y^2+\phi(y)$。 步骤2：由$f_y'=4y-2x^2y$得$-2x^2y+\phi'(y)=4y-2x^2y$，故$\phi'(y)=4y$，积分得$\phi(y)=2y^2+C$。 步骤3：由$f(1,1)=1-1+2+C=0$得$C=-2$，故$f(x,y)=x^2-x^2y^2+2y^2-2$。 步骤4：求驻点，解$f_x'=2x(1-y^2)=0$，$f_y'=4y-2x^2y=2y(2-x^2)=0$，得驻点$(0,0),(\sqrt{2},1),(-\sqrt{2},1)$。 步骤5：计算$f(0,0)=-2$，$f(\sqrt{2},1)=2-2+2-2=0$，$f(-\sqrt{2},1)=0$，极小值为$-2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由偏导数积分求原函数
由 $f_x'(x,y)=2x-2xy^2$ 对 $x$ 积分，得 $f(x,y)=x^2 - x^2 y^2 + \phi(y)$，其中 $\phi(y)$ 是待定函数。
公式：$$f(x,y) = \int f_x'(x,y) \, dx + \phi(y)$$
提示：积分时视y为常数，勿忘待定函数φ(y)
步骤 2/5
目标：利用另一个偏导数确定待定函数
对 $f(x,y)$ 求 $y$ 的偏导：$f_y'(x,y)=-2x^2 y + \phi'(y)$。已知 $f_y'(x,y)=4y-2x^2 y$，比较得 $-2x^2 y + \phi'(y)=4y-2x^2 y$，故 $\phi'(y)=4y$。积分得 $\phi(y)=2y^2 + C$，其中 $C$ 为常数。
公式：$$\phi'(y)=4y$$
提示：注意比较偏导时不要遗漏项
步骤 3/5
目标：利用初始条件确定常数
由 $f(1,1)=0$ 代入 $f(x,y)=x^2 - x^2 y^2 + 2y^2 + C$，得 $1 - 1 + 2 + C = 0$，解得 $C=-2$。因此 $f(x,y)=x^2 - x^2 y^2 + 2y^2 - 2$。
公式：$$f(x,y)=x^2 - x^2 y^2 + 2y^2 - 2$$
提示：代入初始条件时注意符号
步骤 4/5
目标：求驻点
解方程组 $f_x'=2x(1-y^2)=0$，$f_y'=2y(2-x^2)=0$。由 $f_x'=0$ 得 $x=0$ 或 $y=\pm 1$；由 $f_y'=0$ 得 $y=0$ 或 $x=\pm \sqrt{2}$。组合得驻点：$(0,0)$，$(\sqrt{2},1)$，$(-\sqrt{2},1)$，$(\sqrt{2},-1)$，$(-\sqrt{2},-1)$。
公式：$$f_x'=0, f_y'=0$$
提示：注意组合所有可能解，避免遗漏
步骤 5/5
目标：计算各驻点函数值并确定极小值
计算：$f(0,0)=0-0+0-2=-2$；$f(\sqrt{2},1)=2-2+2-2=0$；$f(-\sqrt{2},1)=2-2+2-2=0$；$f(\sqrt{2},-1)=2-2+2-2=0$；$f(-\sqrt{2},-1)=2-2+2-2=0$。比较得最小值为 $-2$。
提示：注意驻点函数值计算正确性
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