kaoyan2advanced 高等数学 第146题
📝 题目
### 第146题
已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)-2 x \Delta x+2 y \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0$ ， $\Delta y \rightarrow 0$ 且 $f(0,0)=2$ ．则 $f(x, y)$ 在圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值和最小值分别为 （A）$-1,0$ ． （B） 0,1 ． （C） 3,2 ． （D） 3,1 ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：由极限式知$f(x,y)$可微，且$f_x(x,y)=2x$，$f_y(x,y)=-2y$。积分得$f(x,y)=x^2 - y^2 + C$，由$f(0,0)=2$得$C=2$，故$f(x,y)=x^2 - y^2 + 2$。在圆域$x^2+y^2\leq 1$上，最大值在$x=\pm1,y=0$处，$f=1+2=3$；最小值在$x=0,y=\pm1$处，$f=-1+2=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限条件，判断可微性
由极限式 $\displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)-2x\Delta x+2y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0$，根据全微分的定义，可知函数 $f(x,y)$ 在任意点 $(x,y)$ 处可微，且 $f_x(x,y)=2x$，$f_y(x,y)=-2y$。
公式：$$\lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)-2x\Delta x+2y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0$$
提示：注意全微分定义中线性部分符号
步骤 2/5
目标：积分求函数表达式
由 $f_x(x,y)=2x$ 对 $x$ 积分得 $f(x,y)=x^2 + \varphi(y)$，再由 $f_y(x,y)=-2y$ 得 $\varphi'(y)=-2y$，积分得 $\varphi(y)=-y^2+C$，故 $f(x,y)=x^2-y^2+C$。
提示：积分时注意常数项是y的函数
步骤 3/5
目标：利用初始条件确定常数
代入 $f(0,0)=2$，得 $0^2-0^2+C=2$，解得 $C=2$，因此 $f(x,y)=x^2-y^2+2$。
提示：注意代入时变量清零
步骤 4/5
目标：在圆域内求最值
圆域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 为有界闭区域，函数连续，最值在边界或内部驻点取得。内部驻点：令 $f_x=2x=0$，$f_y=-2y=0$，得 $(0,0)$，$f(0,0)=2$。边界：$x^2+y^2=1$，代入得 $f=x^2-(1-x^2)+2=2x^2+1$，其中 $x \in [-1,1]$。当 $x=\pm1$ 时，$f=3$；当 $x=0$ 时，$f=1$。比较得最大值 $3$，最小值 $1$。
公式：$$f(x,y)=x^2-y^2+2$$
提示：注意边界代入后变量范围
步骤 5/5
目标：得出答案
最大值和最小值分别为 $3$ 和 $1$，对应选项 (D)。
提示：注意极值点可能不在边界上
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