kaoyan2advanced 高等数学 第145题
📝 题目
### 第145题
设有三元方程 $x y-z \ln y+\mathrm{e}^{x z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程 （A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$ ． （B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ． （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ． （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：令$F(x,y,z)=xy - z\ln y + e^{xz} -1$。计算偏导：$F_x = y + ze^{xz}$，$\displaystyle F_y = x - \frac{z}{y}$，$F_z = -\ln y + xe^{xz}$。在点$(0,1,1)$处，$F_x=1\neq 0$，$F_y=-1\neq 0$，$F_z=0$。由隐函数存在定理，当$F_z=0$时，不能确定$z=z(x,y)$；但$F_x\neq 0$可确定$x=x(y,z)$，$F_y\neq 0$可确定$y=y(x,z)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：步骤1：构造隐函数并计算偏导数
令 $F(x,y,z)=xy - z\ln y + e^{xz} - 1$。则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(0,1,1)$ 处成立。计算 $F$ 对 $x,y,z$ 的偏导数：
$$F_x = y + ze^{xz}, \quad F_y = x - \frac{z}{y}, \quad F_z = -\ln y + xe^{xz}.$$
公式：$$F(x,y,z)=xy - z\ln y + e^{xz} - 1$$
提示：注意隐函数存在定理的条件
步骤 2/4
目标：步骤2：代入点 $(0,1,1)$ 求偏导数值
代入 $x=0, y=1, z=1$：
$$F_x(0,1,1) = 1 + 1 \cdot e^{0} = 2 \neq 0,$$
$$F_y(0,1,1) = 0 - \frac{1}{1} = -1 \neq 0,$$
$$F_z(0,1,1) = -\ln 1 + 0 \cdot e^{0} = 0.$$
公式：$$F(x,y,z)=xy - z\ln y + e^{xz} - 1 = 0$$
提示：注意ln y在y=0处无定义，代入时y=1
步骤 3/4
目标：步骤3：应用隐函数存在定理判断
隐函数存在定理：若 $F(x_0,y_0,z_0)=0$ 且 $F_z \neq 0$，则可确定隐函数 $z=z(x,y)$；若 $F_x \neq 0$，则可确定 $x=x(y,z)$；若 $F_y \neq 0$，则可确定 $y=y(x,z)$。
此处 $F_z=0$，故不能确定 $z=z(x,y)$；而 $F_x \neq 0$ 且 $F_y \neq 0$，因此可确定两个隐函数 $x=x(y,z)$ 和 $y=y(x,z)$。
公式：$$F(x_0,y_0,z_0)=0, F_z \neq 0 \Rightarrow z=z(x,y)$$
提示：注意偏导数为零时不能确定对应隐函数
步骤 4/4
目标：步骤4：匹配选项并给出答案
根据判断，选项 (D) 正确：可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y,z)$ 和 $y=y(x,z)$。
提示：注意隐函数存在定理的条件应用
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