kaoyan2advanced 高等数学 第144题
📝 题目
### 第144题
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\mathrm{e}^{(x+y)^{2}}-1}=3$ ，则 （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的驻点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极小值点． （D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极大值点．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：由极限式，分母$\sim (x+y)^2$，故$f(x,y)\sim 3(x+y)^2$在$(0,0)$附近。$f(0,0)=0$。考虑$f(x,y)$沿$y=x$方向，$f(x,x)\sim 12x^2>0$；沿$y=-x$方向，$f(x,-x)\sim 0$，但需更精确分析。实际上，由极限定义，存在邻域内$f(x,y)$与$3(x+y)^2$同号，而$(x+y)^2\geq 0$，故$f(x,y)\geq 0$，且$f(0,0)=0$，所以$(0,0)$是极小值点。又由极限知$f(x,y)$可微且$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，故是驻点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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