💡 答案解析
**答案**：B **解析**：将$(x,y)=(0,0)$代入方程$0+0=0+z$，得$z=0$。方程两边对$x$求偏导：$\displaystyle e^{xy}+xye^{xy}+y\cdot 2z\frac{\partial z}{\partial x}=y\cos x\cdot z + y\sin x \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial x}$。代入$(0,0,0)$得$\displaystyle 1+0+0=0+0+\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)}$，故$\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$。再对$x$求偏导：$\displaystyle ye^{xy}+ye^{xy}+xy^2e^{xy}+2y\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+2yz\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-y\sin x\cdot z + y\cos x \frac{\partial z}{\partial x} + y\cos x \frac{\partial z}{\partial x} + y\sin x \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$。代入$(0,0,0)$及$\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$得$\displaystyle 0+0+0+0+0=0+0+0+0+\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(0,0)}$，故$\displaystyle \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(0,0)}=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：确定初始条件
将点 $(x,y)=(0,0)$ 代入原方程 $x e^{xy} + y z^2 = y z \sin x + z$，得 $0 + 0 = 0 + z$，解得 $z(0,0)=0$。
提示：代入时注意z是隐函数，需解出具体值
目标：求一阶偏导数
方程两边对 $x$ 求偏导（将 $y$ 视为常数，$z$ 是 $x,y$ 的函数）：
$$ e^{xy} + x y e^{xy} + y \cdot 2z \frac{\partial z}{\partial x} = y \cos x \cdot z + y \sin x \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial x} $$
公式：$$ e^{xy} + x y e^{xy} + y \cdot 2z \frac{\partial z}{\partial x} = y \cos x \cdot z + y \sin x \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial x} $$
提示：注意z是x,y的函数，求导时勿漏链式法则
目标：代入初始条件求一阶偏导数值
代入 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 得：
$$ 1 + 0 + 0 = 0 + 0 + \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)} $$
解得 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)} = 1$。
公式：$$ x e^{xy} + y z^2 = y z \sin x + z $$
提示：代入时注意z也是x,y的函数
目标：求二阶偏导数
对一阶偏导结果再对 $x$ 求偏导：
$$ y e^{xy} + y e^{xy} + x y^2 e^{xy} + 2y \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + 2y z \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -y \sin x \cdot z + y \cos x \frac{\partial z}{\partial x} + y \cos x \frac{\partial z}{\partial x} + y \sin x \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $$
公式：$$ y e^{xy} + y e^{xy} + x y^2 e^{xy} + 2y \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + 2y z \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -y \sin x \cdot z + y \cos x \frac{\partial z}{\partial x} + y \cos x \frac{\partial z}{\partial x} + y \sin x \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $$
提示：注意隐函数求导时z是x,y的函数
目标：代入已知值求解二阶偏导数
代入 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 及 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$ 得：
$$ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(0,0)} $$
因此 $\displaystyle \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(0,0)} = 0$。
公式：$$0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(0,0)}$$
提示：代入时注意所有项均为零，仅剩二阶偏导项
目标：得出答案
所求二阶偏导数值为 $0$，对应选项 B。
提示：注意隐函数求导时变量关系