kaoyan2advanced 高等数学 第120题
📝 题目
### 第120题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处 （A）极限存在但不连续． （B）连续但不可导． （C）可导． （D）是否可导与 $a$ 的取值有关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$F(x)=\int_{-1}^x f(t)\mathrm{d}t$，$F(0)=\int_{-1}^0 \mathrm{e}^t \mathrm{d}t = 1-\mathrm{e}^{-1}$。 步骤2：左导数$F'_-(0)=f(0^-)=\mathrm{e}^0=1$。 步骤3：右导数$F'_+(0)=f(0^+)=0^2+a=a$。 步骤4：$F(x)$在$x=0$处可导当且仅当$a=1$，故是否可导与$a$有关。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算F(0)
由定义，$F(0)=\int_{-1}^{0} f(t) \mathrm{d}t = \int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{t} \mathrm{d}t = \left[\mathrm{e}^{t}\right]_{-1}^{0} = 1 - \mathrm{e}^{-1}$。
公式：$$\int_{-1}^{0} e^{t} dt = [e^{t}]_{-1}^{0} = 1 - e^{-1}$$
提示：注意分段函数在x=0处的定义，积分区间包含0时需分段
步骤 2/5
目标：求左导数
左导数 $F'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{F(x)-F(0)}{x-0} = f(0^{-}) = \mathrm{e}^{0} = 1$。
公式：$$F'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{F(x)-F(0)}{x-0} = f(0^{-})$$
提示：注意左导数用左极限，f(0)需用分段定义
步骤 3/5
目标：求右导数
右导数 $F'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{F(x)-F(0)}{x-0} = f(0^{+}) = 0^{2}+a = a$。
公式：$$F'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)-F(0)}{x-0} = f(0^+)$$
提示：注意右导数定义中极限方向
步骤 4/5
目标：判断可导性
$F(x)$ 在 $x=0$ 处可导当且仅当左导数等于右导数，即 $1 = a$，因此是否可导与 $a$ 的取值有关。
提示：注意左导数与右导数的定义
步骤 5/5
目标：得出结论
当 $a=1$ 时，$F(x)$ 在 $x=0$ 处可导；当 $a \neq 1$ 时，$F(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。故选项 (D) 正确。
提示：注意分段函数在分段点处的可导性需左右导数相等
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