kaoyan2advanced 高等数学 第118题
📝 题目
### 第118题
设 $f(x)$ 有连续导数，$f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0 . F(x)=\int_{0}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，且当 $x \rightarrow 0$时，$F^{\prime}(x)$ 与 $x^{k}$ 为同阶无穷小，则 $k$ 等于 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$F(x)=\int_0^x (x^2-t^2)f(t)\mathrm{d}t = x^2\int_0^x f(t)\mathrm{d}t - \int_0^x t^2 f(t)\mathrm{d}t$。 步骤2：求导得$F'(x)=2x\int_0^x f(t)\mathrm{d}t + x^2 f(x) - x^2 f(x) = 2x\int_0^x f(t)\mathrm{d}t$。 步骤3：由$f(0)=0, f'(0)\neq0$，则$\displaystyle \int_0^x f(t)\mathrm{d}t \sim \frac{1}{2}f'(0)x^2$，故$\displaystyle F'(x) \sim 2x \cdot \frac{1}{2}f'(0)x^2 = f'(0)x^3$，与$x^3$同阶，$k=3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简F(x)表达式
由 $F(x)=\int_0^x (x^2-t^2)f(t)dt$，将 $x^2$ 提出积分号：$F(x)=x^2\int_0^x f(t)dt - \int_0^x t^2 f(t)dt$。
公式：$$F(x)=x^2\int_0^x f(t)dt - \int_0^x t^2 f(t)dt$$
提示：注意积分变量与x无关，可提出x^2
步骤 2/5
目标：求导得F'(x)
对 $F(x)$ 求导，利用乘积法则和变上限积分求导公式：$F'(x)=2x\int_0^x f(t)dt + x^2 f(x) - x^2 f(x) = 2x\int_0^x f(t)dt$。
公式：$$F'(x)=2x\int_0^x f(t)dt$$
提示：注意乘积法则与变上限积分求导结合
步骤 3/5
目标：分析被积函数的渐近行为
由 $f(0)=0$ 且 $f'(0)\neq0$，在 $x\to0$ 时，$f(t)\sim f'(0)t$，故 $\int_0^x f(t)dt \sim \int_0^x f'(0)t dt = \frac{1}{2}f'(0)x^2$。
公式：$$f(t) \sim f'(0)t, \quad \int_0^x f(t)dt \sim \frac{1}{2}f'(0)x^2$$
提示：注意等价无穷小替换时需保证导数非零
步骤 4/5
目标：确定F'(x)的阶数
代入渐近式：$F'(x) \sim 2x \cdot \frac{1}{2}f'(0)x^2 = f'(0)x^3$，因此 $F'(x)$ 与 $x^3$ 同阶无穷小，即 $k=3$。
公式：$$F'(x) \sim 2x \cdot \frac{1}{2}f'(0)x^2 = f'(0)x^3$$
提示：注意渐近展开时保留主导项
步骤 5/5
目标：得出答案
故 $k=3$，对应选项C。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x^k} = C \neq 0$$
提示：注意洛必达法则使用条件
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