kaoyan2advanced 高等数学 第117题
📝 题目
### 第117题
设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数（若下式中用到 $f^{\prime}(x)$ ，则设 $f^{\prime}(x)$ 存在），则以下结论中不正确的是 （A）$f^{\prime}(x)$ 必以 $T$ 为周期． （B） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期． （C） $\int_{0}^{x}[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期． （D） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：A正确，周期函数导数仍以$T$为周期。 步骤2：B不正确，例如$f(x)=1$周期为$T$，但$\int_0^x 1\mathrm{d}t = x$不是周期函数。 步骤3：C正确，$f(t)-f(-t)$为奇函数，其原函数为偶函数，周期函数不一定，但此处需验证：设$g(x)=\int_0^x [f(t)-f(-t)]\mathrm{d}t$，则$g(x+T)-g(x)=\int_x^{x+T}[f(t)-f(-t)]\mathrm{d}t$，利用周期性可证为0。 步骤4：D正确，这是周期函数的常见构造。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
由于$f(x)$以$T$为周期，即$f(x+T)=f(x)$，两边求导得$f'(x+T)=f'(x)$，因此$f'(x)$也以$T$为周期，选项A正确。
公式：$$f(x+T)=f(x) \Rightarrow f'(x+T)=f'(x)$$
提示：周期函数求导后周期不变
步骤 2/5
目标：分析选项B
考虑反例：取$f(x)=1$，其周期$T$任意，则$\int_0^x f(t)dt = x$，显然$x$不是周期函数，因此选项B不正确。
提示：周期函数积分后不一定周期
步骤 3/5
目标：分析选项C
令$g(x)=\int_0^x [f(t)-f(-t)]dt$，则$g(x+T)-g(x)=\int_x^{x+T}[f(t)-f(-t)]dt$。由于$f(t)$以$T$为周期，$f(-t)$也以$T$为周期（因为$-t$平移$T$后变为$-(t+T)$，但周期函数性质需注意：$f(-(t+T))=f(-t-T)=f(-t)$），因此被积函数$f(t)-f(-t)$以$T$为周期，故积分区间长度$T$时，积分值为$\int_0^T [f(t)-f(-t)]dt$。又因为$f(t)-f(-t)$是奇函数，在对称区间上积分为0，所以$g(x+T)-g(x)=0$，即$g(x)$以$T$为周期，选项C正确。
提示：注意周期函数平移后周期不变性
步骤 4/5
目标：分析选项D
令$h(x)=\int_0^x f(t)dt - \frac{x}{T}\int_0^T f(t)dt$，则$h(x+T)=\int_0^{x+T} f(t)dt - \frac{x+T}{T}\int_0^T f(t)dt = \left(\int_0^x f(t)dt + \int_x^{x+T} f(t)dt\right) - \frac{x}{T}\int_0^T f(t)dt - \int_0^T f(t)dt$。由于$f$以$T$为周期，$\int_x^{x+T} f(t)dt = \int_0^T f(t)dt$，代入得$h(x+T)=\int_0^x f(t)dt - \frac{x}{T}\int_0^T f(t)dt = h(x)$，因此$h(x)$以$T$为周期，选项D正确。
公式：$$\int_x^{x+T} f(t)dt = \int_0^T f(t)dt$$
提示：注意周期函数积分性质的应用
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上分析，不正确的选项是B。
提示：注意周期函数积分性质与导数周期性的区别
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